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Michele Cipolla 



[Memoria XIX.] 



in generale. Poiché appunto nel caso generale sorgono quelle difficoltà di segno che già 

 si presentano nel semplice caso, dianzi considerato, di una sola riga e di una sola colon- 

 na, non ci sembra superfluo mostrare come può essere allora risoluta la questione. 



Le difficoltà cui si fa cenno, saranno qui superate coli' estendere alle matrici la no- 

 zione di classe data ordinariamente pei minori di un determinante, ed introducendo un 

 simbolo che nella rappresentazione della classe ha giuoco agile ed interessante. 



1. Con una lettera greca minuscola denoteremo una combinazione degl'indici 1,2, ... , n. 

 Se X e una tale combinazione, con X' indicheremo la combinazione complementare 



di X , cioè quella formata dagl' indici che restano sopprimendo da 1, 2, ... , n gì' indici ap- 

 partenenti a X. 



Con SX si denoterà la somma di tutti gì' indici che costituiscono la combinazione X. 

 Se due combinazioni X, ;i non hanno elementi comuni, rappresenteremo con k\i. la 

 combinazione formata dalla riunione degl' indici appartenenti a X e e useremo il simbolo 



s( X, [JL ) 



per indicare F unità positiva o negativa secondo che il numero delle inversioni che gli 

 elementi di |i fanno con quelli di X (rispetto alla permutazione principale 1, 2, ... n) è pari 

 o dispari. 



Da questa definizione si deduce facilmente la prop. : 

 •1 - Se 



X = ( /, , / 2 ,...,//,) , |x = {m l , 7i/ 2 , ... , m k ) , 



risulla s(X, |i) eguale aio — 1 secondo che positivo o negativo è il prodotto delle 

 hk differenze 



h — (*■= 1, 2, 1,2, .';v, *K 



Per conseguenza : 



'2 — Ha luogo la proprietà 



s(X,n) = (-IT 5(|x,X). 



'3 — Se X, [t, v sono combinazioni a due a due senza elementi comuni, si ha 



S{ X|l , V ) = S( X, V ) S( [A, V ) , S( V, X|J. ) = S ( V, X ) S( V, |i ) . 



Infine per una nota proprietà 3 ) risulta : 



'4 — Essendo h il numero degli elementi di X, si ha 



2X — h (/ ' + r) 



5(X',X) = (-1) 



2. Se X, |t. sono due combinazioni dello stesso numero k di indici : 



X = (/ t , / 2 ,...,■/*.), V- ==■ (w, , /« 2 , , . . , m K ) , 



denoteremo con 



*) Cfr. ad es. : M. CIPOLLA, Analisi algebrica, Palermo, ed. Capozzi, a. 1914, p. 62. 



