memoria XX. 



Sulla determinazione della base canonica di un ideale 

 in un corpo quadratico. 



Nota di MICHELE CIPOLLA 



Denotando con I la classe dei numeri interi di un dato corpo algebrico , un ideale 

 principale del corpo, determinato dal numero a appartenente ad I, cioè l' insieme di tutti 

 i numeri in I che sono divisibili per «, può essere rappresentato con la ; e un ideale qua- 

 lunque determinato da k numeri a, , a 2 , ... , a,, appartenenti ad I , cioè 1' insieme dei 

 numeri del corpo che sono della forma 



essendo X 1 , X, , . . . , X /£ elementi qualsivogliano di I, può rappresentarsi con 



Ictj -j- Ia 2 4- ...-)- 



cioè come somma d' ideali principali i ). 



Se il corpo è di grado esistono , nell' ideale, 11 numeri [i, , \i 2 , ... , |3 n tali che 

 1' ideale stesso è anche 1' insieme 



+ np s + ... + np„ , 



essendo n la classe dei numeri razionali interi relativi ; in altri termini , ogni numero ap- 

 partenente all' ideale è una combinazione lineare a coefficienti razionali interi (relativi) dei 

 numeri [ti, , p 2 , ... , %, . Si dice allora che i numeri $ t , [1, , ... , $„ costituiscono una 

 base dell' ideale. 



Si dimostra che esistono quante si vogliano basi di un ideale, ma generalmente non 

 si assegna un procedimento per determinarne effettivamente una quando 1' ideale è dato 

 come somma di ideali principali. Ed è forse per le difficoltà che la questione presenta nel 

 caso generale di un corpo algebrico qualunque che si trascura di risolverla anche nel caso 

 di un corpo quadratico 2 ). 



1 ) Un ideale può definirsi come somma di un numero finito di ideali principali. 



2 ) Circa 1' esistenza di una base di un ideale in un corpo quadratico e le proprietà della base canonica 

 (n. 1) cfr. : 



J. SOMMER, Vorlesungen Uber Zahlentheorie. Einfilhrurtg indir Theorie der algebraischen Zahlkòrper, 

 Leipzig, a. 1917 (Edition franfaise par A. Lhvy, Paris, a. 1911. p. 38); 



D. HILBERT, Théorie dei mips de nom.br e s, algébriques, trad. de l'allemand par A. LHVY Tu. GOT, 

 Paris, a. 191 3, Note IV par G. HUMBERT, p, 317. 



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