2 



Michele Cipolla 



[Memoria XX. | 



In un corpo quadratico è quasi immediata la determinazione di una base se V ideale 

 è principale. Nel caso che l' ideale sia somma di più ideali principali , determinata una 

 base per ciascuno di questi, si può procedere alla determinazione di una base per la som- 

 ma dei primi due, poi di una base della somma dei primi due e del terzo, e così via. 

 Ma da questo procedimento non si rileva facilmente il semplice risultato che forma 1' og- 

 getto di questa nota. 



1. Consideriamo il corpo 1 ) "i ! definito dalla radice quadrata di un numero m ra- 

 zionale intero (positivo o negativo), diverso da 1 , e non divisibile per il quadrato di alcun 

 numero razionale intero maggiore di L. 



La classe I degl'interi del corpo è formata da tutti i numeri della forma a-{-ba>, 

 essendo a, h numeri razionali interi (relativi) qualunque, ed 



1 (mod. 4) , 



1 



Denotando con N(a-\~bw) la norma di a -f- bta , risulta 



( d i — b 2 m , se vi =|= 1 (mod. 4) , 



I ar-\-ab — £r^— , » m = 1 » ^ 



Dato un ideale A (non nullo) del corpo, si dimostrano facilmente 2 ) le prop. : 



'1 - Il più piccolo mimerò j razionale intero positivo, appartenente ad A, è 

 eguale al massimo comun divisore dei numeri razionali interi in A. 



'2 — // più piccolo valore positivo j s che ha il coefficiente y di w nei numeri 

 x-f-yw in A, è uguale al massimo comun divisore dei coefficienti stessi. 



'3 — Fra i numeri della forma x-f-j> 0J in A, il più piccolo valore non ne- 

 gativo j, di x è uguale al minimo resto non negativo (mod. j) del valore di x ih 

 uno qualsivoglia dei detti numeri. 



'4 — 1 numeri j, j t sono multipli di j 2 . 



'5 — 1 numeri 



j 7 h + j*« 



costituiscono una base dell' ideale. Ogni altra base si può ottenere da questa (e 

 quindi da una qualunque fissata ad arbitrio) mediante una trasformazione lineare 

 unimodulare a coefficienti razionali interi. 



I numeri j, j\ ~\- j. 2 w diconsi il primo e il secondo numero fondamentale dell'ideale, 

 e costituiscono la cosiddetta base canonica dell' ideale. 



2. Sia 



[ ) vi , se i>i 



m -- 



\ 



A = + 6 l0 >) + I (a, + 6, ai) + ... + I (a K + &*co) , 



