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Michele Cipolla 



[Memoria XX.] 



Adunque p deve dividere o ~- o almeno uno dei numeri — , ^ 



"a 1 



àk-i 



d L ' d t ' ' 



Se p divide , dovendo dividere anche q, cioè //„ , dovrà dividere d k , e ciò per- 

 che, se co = |/ ;//, è 



(tri' 



r + v ™ ■ , 



e se co — — si ha 



n h = d k 



d k 



rf* d h 



m- 



l / è» vi 

 d k 



a k 



inoltre, poiché — — e — ^~ sono primi tra loro, p entra in 7z /£ alla stessa potenza che in 



A. 

 d H ' d k 



d k . Ma essendo s = d k , r multiplo di s, ed /, g multipli di j\ , si deduce che nel fat- 



fs—gr 



tore 



di w, ossia in 



p entra a potenza non più bassa che in n,c e quindi a potenza non più bassa che in 

 D (e, q). Anche in questo caso dunque la soppressione del fattore p da w non fa alterare 

 il valor del primo membro di (15). 



b k 



Finalmente supponiamo che p non divida — — ma uno almeno dei numeri 

 (16) A. A. AzL 



( i 



Se p divide ad es. —f- , dovendo dividere e, dividerà anche «, , e come sopra si 

 conchiude che p dovrà dividere d, ed entrare in //, alla stessa potenza che in d, . Sup- 

 poniamo che fra i numeri (16) divisibili per p sia appunto ^' quello o uno di quelli in 



cui p entri nel denominatore alla minima potenza, che diciamo p a . 



Ed allora, se p divide tutti i numeri (16), p dividerà d { , rf 2 , ... , d k _ x , e quindi il 

 loro massimo comun divisore g , e sarà p' J la massima potenza di p che entra in g. Pèr- 



fs — gr 



tanto nel fattore — — di <z», che e multiplo di g , p entra a potenza non più bassa che 



in n, , e quindi a potenza non più bassa che in D {e, q) , e però la soppressione del fat- 

 tore p da w non altera il valore del primo membro (15). 



Se invece qualcuno dei numeri (16) , ad es. , non è divisibile per p, sarà divi- 



d/. 



