Memoria XXI. 



Sai concetto d'integrale indefinito delle funzioni di più variabili, 



Nota di CARLO SEVERINI ( * 



Le proprietà delle funzioni assolutamente continue, dalle quali dipende lo studio del- 

 l' integrale indefinito 



(1) I ■ ■ ■ I f {x t , ■ ■ ■ , x„ ) dx l dx„ 



di una funzione sommabile/ (x i x n ), espresso per mezzo delle variabili x l , . . . ., x n , 



in quanto servono a fissare la natura dell' indeterminazione del precedente simbolo (1), o 

 permettono di dedurne i teoremi fondamentali relativi agl'integrali definiti, non sono state 

 ancora stabilite, che io mi sappia, in modo diretto ed elementare. 



Scopo di questa nota è di esporre brevemente alcune ricerche in tale senso, che 

 credo possano presentare interesse, specie dal punto di vista didattico : esse, insieme colle 

 definizioni descrittive indicate alla fine del § 2, le quali non richiedono in precedenza lo 

 sviluppo completo, generale della teoria della misura degl'insiemi e delle funzioni misura- 

 bili, possono infatti essere esposte in un corso elementare di Analisi infinitesimale, in cui 

 permettono d' includere concetti divenuti oramai indispensabili e di conseguire anche, a 

 mio avviso, notevoli altri vantaggi. 



1. Ci riferiremo per semplicità, a funzioni di due sole variabili, giacché quanto sarà 

 detto per queste si estende immediatamente alle funzioni di quante si vogliano variabili. 

 Per le funzioni di una variabile sarà solo il caso di aggiungere in fine qualche osserva- 

 zione, d'altronde immediata. 



Ricordiamo che, data una funzione 



B—.f ix,y) , 



e posto : 



A^ / (x, y) = f (x -\-h,y)-f (x, y) , 

 A* f(x,y) —f{x,y + k) — f(x,y) , 



A^. f[x,y), A f(x,y) diconsi differenze prime d\f(x,y). Queste due differenze, 

 se si riguardano // e k come costanti assegnate, sono a loro volta due funzioni di .r e v, 



(*) Comunicata all' Accademia nell ' adunanza del 3 febbraio 1917. 

 ATTI ACC. SERIK V. VOI.. X. — Mem. XXI. 



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