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Carlo Severini 



[Memoria XXI.] 



delle quali c' è luogo a considerare le differenze prime, relative ad incrementi h l e k { di x 

 ed y. Si .hanno così le differenze seconde della f(x, y) 



A 7 ' 1 A* f(x,y), A 7 ' 1 A* f(x,y), 



XX XV 



In generale si dice differenza di ordine n una differenza prima di una differenza 

 di ordine n — 1 . 



Potendosi invertire 1' ordine di due qualunque delle precedenti operazioni, basterà as- 

 segnare gì' incrementi attribuiti alle singole variabili per individuare una di dette differenze; 

 e si potrà una differenza di ordine n indicare col simbolo 



A 00 f(x,y) = A 7 " ... A" A^' .... A*" /(*, y) {p + q=n)\ 



x x y y 



ove gl'incrementi //, e k, possono anche essere fra loro eguali. 



il fi 



C'interessa per il seguito considerare il rapporto fra la differenza seconda A^ A f{x,y) 

 ed il prodotto degl' incrementi // e k, nell' ipotesi che questi incrementi soddisfino alla con- 

 dizione | // 1 = [ k\ . 



Il limite di questo rapporto, se esiste al tendere comunque a zero di \h \ = \k\, cioè il 



lini A I ^ v f(x,y) 



si dirà derivata totale simmetrica della f (x, y) nel punto (x,y), e s'indicherà colla no- 

 tazione D f{x, y). 



Alla considerazione della derivata totale simmetrica potrebbe sostituirsi più general- 

 mente la considerazione della derivata totale regolare, intendendo con ciò, in armonia 

 alla definizione di famiglia regolare d'insiemi (*) , il limite, ammesso che esista, del pre- 



h I 



cedente rapporto, quando li e k tendono a zero, in modo che — resti compreso fra due 



numeri positivi fissi (non nulli). 



In ciò che segue noi intenderemo sempre di riferirci alla derivata totale simmetrica. 



2. Una funzione 



*=/(*, y), 



definita in un rettangolo : 



a £ x £ b 



(2) 



c <y<d, 



( l ) Cfr. LEBESGUE : Sur 1' integration des fonctions discontinues [Annales scientifiques de l' École Nor- 

 male Superieure (Paris) serie III 8 , tome 27 (1910) p. 387]. Cfr. anche De la Vallèe Poussin: Cours d'Ana- 

 lyse Infinitesimale, tome II [Paris, Gauthier-Villars (1912) p. 113] ; Integrale de Lebesgue, Fonctions d'en- 

 semble, Classes de Baire [Paris, Gauthier-Villars (1916) p. 59]. 



