Sul concetto cT integrale indefinito delle funzioni di più variabili 



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si dice assolutamente continua, se la somma delle differenze seconde 



(3) Zi A*' A* f(Xi , yi ) (hi > o, fci > o) , 



relative ad un insieme finito qualsivoglia di rettangoli, contenuti nel campo (2) e non 

 aventi due a due punti interni a comune ( 2 ) 



Xi <L x < Xt -f hi 



(4) (/= 1,2, .... ), 



Vi V Ji + Vi- 

 tande a zero al tendere a zero della somma Zi hfii delle aree di questi rettangoli; se in 

 altri termini, fissato comunque un numero positivo 3 , si può sempre in corrispondenza 

 determinare un numero positivo e, tale da avere, qualunque sia il numero dei rettangoli (4): 



(5) | Zi A*' A*' f{x lf yi) |^o, 



x y 



tutte le volte che è: 



(6) Zi hiki ^ e. 



E evidente che in tale ipotesi, se, invece di un insieme finito di rettangoli (4), se ne 

 considera un insieme numerabile, la serie (3) delle differenze seconde risulta convergente, 

 e la somma di questa serie tende del pari a zero al tendere a zero della somma della 

 serie Zi hi ki . 



Ancora si può dire che, se la f (x, y) è assolutamente continua, tende a zero, al 

 tendere a zero di Zi h,ki, la somma dei valori assoluti delle dette differenze seconde 



(7) Zi I à !i A"' f(x,y) | 



x y 



e viceversa. 



Posto infatti che la somma (3) tenda a zero con Z, lifti, si fissi, nel modo dianzi 

 detto, il numero positivo e. 



Delle differenze seconde A ' A 1 f{x t , v,), corrispondenti ad un insieme di rettangoli (4), 



x y 



pei quali sia soddisfatta la (6), alcune saranno positive, altre negative. La somma di quelle 

 positive è minore di a, ed è anche minore di a la somma dei valori assoluti di quelle 

 negative, perchè entrambe queste somme corrispondono a rettangoli, di cui la somma delle 

 aree è minore di e. Risulta pertanto : 



Zi | A ; " A"*' f(x,y) | ^ 2o, 



x y ■ 



e da ciò segue che la (7) tende a zero con Zi hi k t ■ 



( 2 ) Dicendo che un punto è interno ad un rettangolo escludiamo che possa appartenere al contorno. 



