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La proposizione inversa è senz' altro evidente. 

 Poiché si ha in generale : 



|A* A* / (x, y)\ = | A;"' A* f(x+h,y)\ = | tT h ùT */(*+*, y-f *)| = | A.! | , 



si può anche aggiungere, togliendo la condizione che gl'incrementi h, e li, siano positivi, 

 che se la / (x, v) è assolutamente continua, la somma (7) e quindi anche la (3) tende a 

 zero al tendere a zero di J£, \ h t k, \ e viceversa. 



3. — Ciò posto dimostriamo il seguente teorema : 

 Una funzione 



definita in un rettangolo 



(2) a<x^b 



c <; y <i d , 



assolutamente continua, è della forma 



se = <p (x) + «I» (y) , 



5£ in ogni punto interno al campo (2), esclusi al più quelli di un insieme di mi- 

 sura (superficiale) nulla, o, come brevemente diremo, quasi da per tutto entro il 

 campo (2), si ha : 



(8) D/(x,y) = o. 



Se in un punto (x, y), interno al campo (2), è verificata la (8), si può determinare 

 una quantità positiva 8, tale che, per ogni // e k, soddisfacenti alla condizione 



| h | = | k | ^ 8 , 



il punto {x -f- h, y -f- k) appartenga ancora al campo (2), e si abbia : 



(10) |A* A* f(x,y)\ ^ a \hk\ , 



o essendo un numero positivo, prefissato a piacere. 



Detta inoltre e' una quantità positiva, tale che risulti (n° 2) : 



(11) £t 



A *t ti 



A A f(x it yt 



x y 



tutte le volte che si ha: 



(12) 2t | ht fct | ^ e', 



gl'incrementi h, e k, potendo essere positivi o negativi, si racchiuda V insieme E dei punti 



