5 



interni al campo (2), per i quali non si sa se la D f (x, y) è nulla, in un insieme finito 

 o numerabile di rettangoli 



(13) R n (« = 1,2, ), 



contenuti nello stesso campo (2), coi lati paralleli agli assi, in modo che ogni punto di E 

 risulti interno ad uno almeno di questi rettangoli, e che la somma delle loro aree non 

 superi e'. Per ogni punto [x,y') di E s'indichi allora con §' una quantità positiva, tale 

 che il quadrato 



x — y < x <j x -(- 5' 



v' — o' <^ y <j y -j- §' 



sia contenuto in uno almeno dei rettangoli (13). 



Sia g (x, y) la funzione eguale al massimo valore di Ò in ogni punto (x,y) interno 

 al campo (2), non appartenente ad E ed eguale al limite superiore dei valori di 8' in 

 ogni punto di E. 



Si può intendere definita la funzione g (x, y) anche per i punti del contorno del cam- 

 po (2), ponendo che sia in essi costantemente nulla. 



Per l'assoluta continuità della. / (x, y), tutte le volte che si ha: 



\h\ = \k\^g {x, y) , 



risulta verificata la (10), se il punto (x,y) non appartiene ad E ; risulta invece verificata 

 la (11), tutte le volte che si ha: 



| hi | ^g {x, ,y ( ) , | ki , ^| g (x t , y t ) (/ = 1,2, . . . ) 



qualunque sia l'insieme finito (o numerabile) dei punti (x tì yi), appartenenti ad E, se i 

 rettangoli relativi, che hanno per vertici i punti 



(x it y t ) , [xt +hi,yi), (x,- -f h L , y c + k ( ), (x t , y t (/ = 1, 2, ) 



non ammettono due a due punti interni a comune. 



Ciò posto s'indichi in generale con G n l'insieme dei punti del campo (2), nei quali, 

 ammesso che sia b — a ^> d — c, risulta : 



b — a 



g (x, y) >■ . 



n 



Sarà, chiamando G l'insieme di tutti i punti interni al campo (2): 



G^G^iG.-G,) 4- + (G n — G n _i) + .... 



Per ogni valore fisso di //, supposti divisi i lati del rettangolo (2) in // parti eguali, e 

 condotte per i punti di divisione le parallele agli assi, s'indichi con G n l'insieme costituito 



