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Carlo Sever/ni 



da quei rettangoli parziali, in cui cadono punti di G n . L'insieme G, t conterrà L'insieme Ga , 

 e si potrà determinare un valore rì dell'indice abbastanza grande perchè sia: 



(b — a) (d — 6") — ni G n > <S X , 



X essendo un numero positivo, assegnato ad arbitrio, minore di — [b — a) (d — c). 



In ciascuno dei rettangoli R n r t , che compongono G n> , si scelga un punto {x nU , y nll ) 

 di G n > , e si consideri il quadrato coi lati paralleli agli assi , che ha questo punto come 

 centro ed il lato eguale a 2,^ (.tv,, av,)- Questi quadrati, in numero finito, possono avere 

 punti interni a comune. Se ciò si verifica, si sopprimano anzitutto i quadrati , che hanno 

 punti interni a comune col più grande, o con uno dei più grandi, dei quadrati non isolati ; 

 quindi si sopprimano i quadrati, che hanno punti interni a comune col più grande, o con 

 uno dei più grandi, dei quadrati, che non risultano isolati dopo la prima soppressione , e 

 così di seguito fino ad avere soltanto quadrati isolati. 



La somma delle aree dei quadrati conservati sarà almeno eguale ad — dell' area 



primieramente ricoperta ; quindi almeno uguale ad — in G n , , e perciò maggiore di 

 — (b — a) (d — c) — A. Se dunque s'indica con H il campo ottenuto dal rettangolo (2), 



togliendone i punti interni a questi quadrati , campo decomponibile evidentemente in un 

 numero finito di rettangoli coi lati paralleli agli assi, si avrà : 



(14) mH^ — (b — a) {d — c) + X . 



S' indichi ora con g i (x, v) la funzione, definita per tutti i punti di H, nulla lungo 

 il contorno e coincidente in ogni punto interno [x, y) colla massima quantità positiva che, 

 non supera g (x, y), ed è anche minore od uguale alla minima distanza di (x, y) dal 

 contorno. 



Ragionando sopra ognuno dei rettangoli componenti H e sulla g } (x, y), come prece- 

 dentemente è stato fatto sul campo (2) e sulla g (x, yj, si perverrà a trovare un numero 

 finito di quadrati coi lati paralleli agli assi , non aventi due a due , fra loro e coi prece- 

 denti , punti interni a comune, di cui i lati sono eguali al doppio dei valori di g L (x, y) 

 nei rispettivi centri , e tale che , detto H t il campo ottenuto da H togliendone i punti 

 interni a questi quadrati, si abbia : 



/// H t ^ -y mH -f X' , 



X' essendo un numero positivo, arbitrariamente scelto, minore di — e di mH. 

 Dalla precedente disuguaglianza e dalla (14) si deduce : 



mH { ^ (-jj-J 2 (b — a){d— *)-f-X;4-V, 



e si vede bene che, se si ha cura di scegliere in precedenza X-<; r— , ove e' ha il signi- 

 ficato sopra detto, il procedimento in discorso conduce a trovare un insieme finito di qua- 



