Sul concetto d' integrale indefinito delle funzioni di più variabili 



7 



drati 



x n <1 x <L x n -f h„ 



(15) (n=l,2, .... , vi) 



y n < y £ y n + h, t 



non aventi due a due punti interni a comune, contenuti nel campo (2), i quali, fatta al 

 più eccezione per un numero finito di rettangoli, di cui la somma delle aree non supera 

 e', ricoprono questo campo, ed hanno i lati minori od uguali al valore assunto da g (x, y) 

 in una almeno dei vertici rispettivi. 

 Siano 



x, < x a <....< x p 

 y t < y t <•■••< Vg 



le proiezioni sugli assi x ed y, interne agi' intervalli (a, b) e (c, d), dei vertici di tutti 

 i quadrati (15), e pongasi: 



a = x, , b = Xp+i , c = y 0ì d— y q+l . 

 Si ha evidentemente : 



(16) 



b — a . d — c 



P Q 



A A f(a,c) = Z, Zj A 



x y 



f(xt>yì)- 



Ma, se uno dei quadrati (15) è suddiviso dalle rette 



xi , y = yj 



t = 1,2, .... , p 

 j = 1,2, .... , q 



nei rettangoli 



X r X Xr4-1 



y s < y ^ 3' 3+ i 



r— 1.2, 



5=1,2, .. 



• • t Pn 



risulta : 



A A f(x n ,y n ) 



x y 



1 l x y 



(«=1,2,..., m) 



e quindi per la (16), tenuto conto della (11): 



A A /(«,<;) < ^„ U A f(x n ,y n ) - 



x y i \ x y 



D'altra parte per la (10) e la (11) si ha: 



Za 

 1 



ha hn 



A A f(x n ,y n 



x y 



a [ (b—a) (d—c) + 



