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Carlo Severini . [Memoria XXL] 



Risulta dunque : 



A b ~ a k d ~ c f(a, c) | ^ o [ (b—a) (d—c) -f 2 ] . 

 Potendo o essere arbitrariamente scelto, se ne deriva : 



, b — a . d — c 



A A f{a,c) = 0. 



x y 



Il medesimo ragionamento si può ripetere, rimpiazzando il punto (b, d) con un punto 

 (x, y), comunque scelto nel campo (2), per modo che si ha nelle dette ipotesi : 



x — a v — c 



A A- f( a ,c) = 0, 



x y 



ossia 



e quindi : 



ponendo ad es : 



f(x,y)=f(x,c)+f{a,y)-f{a, c) , 



f (x, y) = cp [x) -[-■«[) (y) , 



cp (x) = f (x, c), y) =/(«, y) — f {a, c) , 

 che è quanto si voleva dimostrare. 



4. Dal precedente teorema segue come corollario : 

 Due fun si oni 



s=f l (x,y), s=f. 2 (x,y), 



definite in un rettangolo 



c ^ y <d, 



assolutamente continue, differiscono per una funzione della forma, 



s = cp (x) -jr <!> (y) > 



se entro il rettangolo si ha quasi da per tutto : 



Df\ (x,y) = D f (x,y) . 



La differenza delle due funzioni : 



8 = f {x,y) — /j (x,y) 



è infatti una funzione assolutamente continua nel campo (2), e la sua derivata totale sim- 

 metrica è entro tale rettangolo quasi da per tutto eguale a zero. 



