Sul concetto d' integrale indefinito delle funzioni di più variabili 



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5. Con considerazioni analoghe a quelle del n. 3 si può ora dimostrare quest' altro 

 teorema : 



Se per una funzione 



3 — f [x, y) , 



definita in un rettangolo 



(2) a£x<b 



c £ y £ d , 



assolutamente continua, si ha quasi da per lutto entro il rettangolo : 



Df ix, v) ^ o , 



tua non costantemente : 



(8) _ Df(x,y) = o 



in ogni punto interno, risulta: 



\ h A* f(x,y)^o 



x y 

 li k 



A A / (x,y) < o 



x y 



V eguaglianza esclusa, quando, coincidendo (x, y) con uno dei vertici, si faccia 

 | h | = b — a , | k | = d — c. 



Risulta invece : 



h k 



A A /' (x,y) <I o se hk o 



x y 



h k , 

 A A f (x, v) i> o se hk <L o , 



x y 



V eguaglianza ancora esclusa, quando, coincidendo (x, y) con uno dei vertici, si 

 faccia i h | = b — a, | k | = d — c, se quasi da per tutto entro il rettangolo 

 si ha : 



Df (x, y) ^ o , 



ma no fi costantemente. 



(8) Df (x, y) = o 



in ogni punto interno. 



Basterà che dimostriamo la prima parte del teorema. 



Come nel n. 3, se in un punto {x,y), interno al campo (2) , è verificata la (8), si 

 può determinare una quantità positiva o, tale che per ogni // e k, soddisfacenti alla con- 

 dizione: 



I h | = | k | ^ 8 , 



ATTI ACC. SERIIi A- VOI.. X. — Meni. XXI. 2 



se hk 

 „ hk £ , 



