IO 



Carlo Severini 



| Memoria XXI.] 



il punto (x~\-h, y -j- k) appartenga ancora al campo (2), e si abbia: 

 (10) A* A* /' (x,y) ^ o | hk | , 



X V 



o essendo il solito numero positivo, prefissato a piacere. 

 Se in un punto (x, y), interno al campo (2), si ha: 



(17) Df (x,y) > o , 



si può determinare una quantità positiva ò' , in modo che per ogni h e k soddisfacenti 

 alla condizione: 



| h | = | * | £ 8' 

 il punto (x ~f- h, y -f- k) appartenga ancora al campo (2), e si abbia: 



(18) A 7 ' A 7 ' f(x,y)^o se hk ^ o 



x y 



(19) A* A 7 '' f(x,y)^o „ hk < o. 



x y 



In fine, detta e' una quantità positiva tale che risulti : 



(11) Zi \ A*' A*' f (x,, : v ( ) |^o, 



x y 



tutte le volte che si ha : 



(12) 2t I ht k, | <, e , 



gl'incrementi //, e k, potendo essere positivi o negativi, si racchiuda, come nel n° 3, l'in- 

 sieme E dei punti interni al campo (2), pei quali non si sa se Df (x, y) 2> o, in un 

 insieme finito o numerabile di rettangoli 



(13) R n (« = 1,2, .... ), 



contenuti nel campo (2) , coi lati paralleli agli assi, in modo che ogni punto di E risulti 

 interno ad uno almeno dei rettangoli E n , e che la somma delle loro aree non superi e'. 

 Per ogni punto (x'.y) di E s' indichi allora con S" una quantità positiva, tale che il qua- 

 drato 



x - ò" < x ^ x -f- 5" 

 y — 8" y y -f- 8" 



sia contenuto in uno almeno dei rettangoli (13). 



Sia g (x, y) la funzione eguale al massimo valore di ò in ogni punto interno al cam- 

 po (2), in cui ha luogo la (8), eguale al massimo valore di ò' in ogni punto interno al 

 campo (2), in cui ha luogo la (17) ed eguale al limite superiore dei valori di 8" in ogni 



