Sul concetto d' integrale indefinito delle funzioni di più variabili 



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punto di E. Sul contorno del campo (2) si può intendere definita la g (x, y), ponendo che 

 ivi sia costantemente g (x, y) = o. 



Per l'assoluta continuità della f(x, y), tutte le volte che si ha: 



\h\ = \k\<g (x,y), 



risulta verificata la (10), se nel punto (x, y) è soddisfatta la (8), risulta verificata la (18) 

 ovvero la (19), a seconda del segno di hk , se nel punto (x,y) è soddisfatta la (17); in 

 fine, tutte le volte che si ha : 



! hi | ^g(x t ,y t ) , | *< I ^g(x it yi) (/= 1, 2, . . . . ) , 



e qualunque sia 1' insieme finito (o numerabile) dei punti (.v, , v, ) appartenenti ad E , ri- 

 sulta verificata la (11), se i rettangoli, che hanno per vertici i punti : 



(xi , y t ) , {x t + hi , y { ) , (x t + h t , y t -f- ), (x t , y t -f- k, ) . {t r — 1, 2, ) 



non hanno due a due punti interni a comune. 



Si consideri ora, come nel n° 3, un insieme finito di quadrati 



X' n ^ X <; X n + h'„ 



(20) ( (n — l, 2, . . . , m\ 



y n :< y y n + n '<> 



non aventi due a due punti interni a comune, contenuti nel campo (2), i quali, fatta al più 

 eccezione per un numero finito di rettangoli, di cui la somma delle aree non supera a', 

 ricoprano questo campo, ed abbiano i lati minori od uguali al valore assunto da g {x,y) 

 in uno almeno dei vertici rispettivi. 



Ragionando sul sistema di questi quadrati come nel n° 3 si è fatto per il sistema 

 dei quadrati (15), si arriva alla disuguaglianza 



(21) A*"" A rf ~" f(a,c) ^ — o [ (b—a) (d—c)+ 2 1 . 



x y L J 



Basta per veder ciò tener conto della (10) e della (11) ed osservare che, se per uno 



dei quadrati (20) il lato non supera il valore di g (x, y) in un vertice, nel quale sia ve- 

 rificata la (17), risulta : 



A 7 '" A 7 ' a f(x' n ,y' n ) ^ o: 



x y 



è infatti evidente che, se questo vertice è uno dei vertici (x' n ,y' n ) (x' n -\- h' n , y' n -(- h' n ), 

 si ha : 



à " \' "f {x' n ,y n ) = A~ 7 ' " A _/ ' " f{x' n -\-h' n , \' n +ti fl ) ^ 



x y x y 



mentre, se è uno dei vertici rimanenti, si ha : 



-A"'" A*'" / {X' n , y'n ) = A'''" \~" " /{X'n , y'n + *'„ ) = A"'" f{x' n +h' n , V„ ) < 0. 



x y i y x y 



