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Carlo Severi ni 



[Memoria XXL] 



Potendo o essere arbitrariamente scelto, risulta dalla (21): 



. b — a . d — c 



A A / (a, c) >■ o 



x y 



Allo stesso modo si prova che deve essere 



h k 



A A f (x,y) ^ o 



x y 



a <x <b 

 c £ v < d 



// > O , k > 



e quindi in generale 

 (21) 



(22) 



h , k 



A A f ( x, y) ^ o 



x y 



A A / (x, v 



x y 



se hk i> o 



se hk < o. 



Si esclude poi che possa aversi : 



b — a d — c a — b.d — c a — b c — d ,b — a.r—d , . 



23 A A f{a,c)= — A A f(b,c) = * £i f(b,d)=-à A f( a ,d) = o, 



x y x y x y x y 



giacché dalla (21) e dalla (22) segue rispettivamente, tenendo conto della (23) '• 

 ^b-a ^ -c A A A* f(x,y)^o se hk |> o 



x y x y 



a" '' A'' ' f(b, ci <; A 7 ' A 7 ' /" (.v, v) < o se //£ ^ o , 



x y x y 



e, se avesse luogo la (23), risulterebbe in ogni punto interno al campo (2) : 



Df{x,y) = o, 



contrariamente a quanto è stato ammesso. 

 Con ciò il teorema è dimostrato. 



7. Quanto è stato fin qui detto si può ripetere con lievi modificazioni per una fun- 



h k 



zione di una variabile /"(.r), ove al posto della differenza seconda A^ A^ f(x,y) e della 



derivata totale simmetrica della f (x, y) si considerino ora la differenza prima A"/ (x) = 

 = f(x-\-h ) — f(x) e la derivata ordinaria della /(x). Questa si dice assolutamente con- 

 tinua nell' intervallo (a, b), in cui è definita, se la somma delle differenze prime 



Zt A 7 " f(x L ) 



hi > o ), 



relative ad un insieme finito qualsivoglia d' intervalli 



(24) x t £ x £ x, + h, 



(i= 1,2, 



