Sul concetto d' integrate indefinito delie funzioni di più variabili 



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contenuti in {a, b), non aventi due a due punti interni a comune, tende a zero al tendere 

 a zero della somma Zi //, delle lunghezze di questi intervalli, se cioè, fissato comunque 

 il numero positivo a si può sempre determinare un numero positivo £ tale da avere, qua- 

 lunque sia il numero degl' intervalli (24) : 



La precedente definizione si può trasformare con ragionamento analogo a quello del 

 n° 2, e si può anche aggiungere, come subito si vede, che, se la f{x) è assolutamente 

 continua, tende a zero, al tendere a zero di Zi Ih , 'a somma delle oscillazioni di / (x) 

 nell' intervalli (24) e viceversa. Inoltre è chiaro che V assoluta continuità porta in questo 

 caso come conseguenza la continuità ordinaria. 



8. Sia ora cp (x, v) una funzione sommabile nel campo (2). 



L' ipotesi che la cp (x, y) sia definita in tutto il rettangolo (2) non porta alcuna re- 

 strizione per ciò che andiamo a dire, giacché, quando la cp (x, y) fosse data soltanto per 

 i punti di un insieme misurabile, contenuto in detto rettangolo, si rimpiazzerebbe la cp (x, y) 

 con una nuova funzione cp i (x, y) , coincidente con cp (x,y) in ogni punto dell'insieme 

 dato e nulla in ogni punto dell' insieme complementare. 



Ciò posto, convenendo di rappresentare in generale con R ( ' y ) il rettangolo, che 



ha per vertici i punti di ascisse x i , x 2 (x { < x 2 ) e eli ordinate y L , y 2 (y 4 < v 3 ) , si consi- 

 deri la funzione 



rappresentata dall' integrale della cp (x, y) esteso ad R y x J . 



Questa funzione è assolutamente continua nel campo (2) , giacché se (x, y) ed 

 (x~{-h, y ~\~k) sono due punti di tale campo ih > o, k > o), si ha: 



tutte le volte che è : 



Zi hi ^ s. 



e d'altra parte la somma degl'integrali di cp (x,y), estesi ad un insieme finito qualsivoglia 

 di rettangoli : 



