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Carlo Severi iti 



[Memoria XXI.] 



contenuti nel campo (2), non aventi due a due punti interni a comune, tende a zero al 

 tendere a zero della somma JS i fot fot delle aree di questi rettangoli ( 3 ). 



Di più la ^ i {x,y) ammette quasi da per tutto la derivata totale simmetrica, coinci- 

 dente con qp (.v, y), cioè : 



(25) D <£, (x,y) = qp (x,y). 



Se infatti, convenendo di attribuire a qp (x, y) il valore zero fuori del campo (2) , si 

 pone : 



I 



e 



ove e indica un insieme misurabile qualsivoglia, risulta quasi da per tutto, detto h' un in- 

 cremento positivo : ( 4 ) 



hm = hm -rr 2 = qp (x, y) 



ìi =o 11 fo' = o 



a~ /1 ' a*' ^(^y) 



lim — '' , = Hm ' - J = cp (.r, v) 



h' — o fo'—o 



A r A , 7/ <I\(.v\y) 



lim — = lim - - '£ 2 "'"" = <P (- r '3'' 



// = o " h' = o 



lim — - — tt72 — - - lim 

 A' = o' h' = o 







//2 



* 



"/e 













i? 









ti* 





i? 



(7-Z)) 



cp (x, y) ; 



e da queste eguaglianze segue senz' altro la (25). 



Viceversa si dimostra che una funzione cp{x,y) è sommabile nel rettangolo (2), se 

 esiste una funzione assolutamente continua <I> (x, y), la cui derivata totale simmetrica coin- 

 cide quasi da per tutto con cp (x, y) ; e più generalmente ancora che una funzione qua- 

 lunque, assolutamente continua, / (.v, v) ammette quasi da per tutto la derivata totale sim- 

 metrica sommabile. 



Tenuto conto di quanto è stato or ora detto a proposito della <l\ (x, y), la questione 

 si riduce a far vedere che si può dalla / (x, y), dedurre una funzione d' insieme F (e), 

 assolutamente continua, additiva, tale da avere, (x, y) ed (x-\-fo, y-{-k) essendo due punti 

 qualsivogliano (// > o, k > o) del campo (2) : 



( 3 ) Cfr. Lebesgue e De la Vallèe Poussin, I. c. (i). 



( 4 ) Cfr. Lebesgue e De la l'allée Poussin 1. c. (i). 



( 5 ) Cfr. Lebesgue e De la Vallèe Poussin I. c. (i). 



