Sul concetto d' integrale indefinito delle funzioni di più variabili 



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Si consideri perciò nel campo (2) un insieme misurabile qualsivoglia E , e se ne 

 racchiudano i punti in un insieme finito o numerabile di rettangoli R n , contenuti nello 

 stesso campo (2), coi lati paralleli agli assi, non aventi due a due punti interni a comu- 

 ne. Un sistema di rettangoli R„ così fatti può ottenersi racchiudendo comunque in un in- 

 sieme finito o numerabile di rettangoli R'/ , contenuti nel campo (2), coi lati paralleli agli 

 assi, i punti di E; togliendo dal rettangolo R\ per i — 2, 3, le parti comuni ai 



rettangoli precedenti R t , . . . , R'^-i , e decomponendo la parte rimanente di R , in ret- 

 tangoli parziali mediante le parallele agli assi, condotte per i vertici dei rettangoli prece- 

 denti, che cadono entro R' , . In tal modo ogni rettangolo R , viene sostituito con un nu- 

 mero finito ben determinato di rettangoli parziali o soppresso del tutto, ed un punto di E 

 contenuto in R, viene ad essere contenuto nei rettangoli R n formati con i?/, . . . , R,'. 



Siano i rettangoli R n così ottenuti definiti dalle limitazioni 



X n < X <i X n -|~ Jl„ 



(26) (« = 1,2, .... ). 



La serie delle corrispondenti differenze seconde della / (x, y) 

 (27) Zn A*" A*" f{x tl ,y a ) 



X y 



è (n° 2) assolutamente convergente. Ad ogni sistema G di rettangoli R n corrisponde così 

 una quantità determinata S, somma della serie anzidetta. 



Si fissi ora una successione numerabile di sistemi dei detti rettangoli 



(28) G t , G % , G p , 



in modo che, essendo i rettangoli R lup di G,, definiti dalle limitazioni 



x n ' p <; X x n<p 4- h niP l/i = l. 2, 



y n , p ^ y ^ y n>p + h n<p \ P = l f 2, / ' 



risulti : 



lim 



lim r 00 



(29) p = oc [ 2 » k »r — mE j =o, 

 e si consideri la successione 



(30) S t , S 2 , , S p , 



dei corrispondenti valori di S : per la convergenza assoluta della serie (27) questa succes- 

 sione è indipendente dal modo, col quale vengono ordinati i rettangoli dei singoli sistemi (28). 



E facile vedere che la successione (30) tende, al crescere di p, ad un limite deter- 

 minato e finito. 



Ditta vj una quantità positiva, che può essere scelta ad arbitrio, si considerino due 



