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Carlo Severi ni 



[Memoria XXI j 



e per le (32), (33), (36), (37) : 



| S p - S q ! <S o. 



Con ciò che precede resta dimostrato che, scelto comunque un numero positivo a,, 

 si può sempre determinare, in base alle (31), e (37), un valore p' dell'indice p tale, che 

 risulti soddisfatta la precedente disuguaglianza, qualunque siano p e q maggiori di p' ; e 

 che pertanto la successione (30) tende, al crescere di p, ad un limite determinato e finito. 



Risulta ancora da quanto è stato dianzi detto che, se si considera un' altra succes- 

 sione di sistemi di rettangoli 



G j , G , , .... , G p , ...... 



distinta dalla (28), ma soddisfacente alle stesse condizioni, la corrispondente successione 

 dei valori di S 



S^ i S 8 i > S 



tende, al crescere di p, allo stesso limite, a cui tende la (30). 



Infatti, se p è abbastanza grande, perchè abbia luogo la prima delle (31) e la disu- 

 guaglianza analoga 



co 



2!n h'np k'wp — "'E <; 7j , 

 1 



ove con 



x' np ^ x ^ x' np -{-h' np /»== 1,2, \ 



Tnp ^ V ^ y'np + k'rv \p=l,2, / 



s' indicano i rettangoli di G' p , e s' intende ancora che sia soddisfatta la (37), risulta : 



I S p — S' p |^o, 



il che basta al nostro scopo. 



Il limite in discorso non dipende dunque dalla scelta della successione (28), ma solo 

 dall'insieme E, e definisce pertanto una funzione d'insieme E {E), per ogni insieme mi- 

 surabile E, contenuto nel campo (2). 



La definizione si estende nel solito modo a tutto il piano, ponendo per un insieme 

 qualsivoglia e misurabile, limitato : 



E (e) = E [e E (" £)] , 



ove con e R ( * * ) s' indica l' insieme dei punti comuni ad e ed al campo (2). 



L'assoluta continuità (n° 2) della f(x, y) porta evidentemente l'assoluta continuità 

 della E (e), nel senso che Eie) tende a zero al tendere a zero della misura di e. 



La funzione E [e] è inoltre additiva, cioè, data una successione finita o infinita d'in- 

 siemi misurabili 



C i 1 ^2 i > &II ì 



