Sul conce/lo d' integrale indefinito delle funzioni di più variabili 



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e così in ultimo : 



\S P -(Sp+Sp) |^o. 



Segue senz' altro che deve aversi : 



\ F(E + É) - [F(E) + F{É) ) l^o, 



e potendo a essere arbitrariamente scelto : 



F (E -\- É) ~ F(E) -f- F(É). 



Con ciò è provato che la F {e) è additiva per due e quindi per un numero finito, 

 qualsivoglia d' insiemi misurabili, contenuti in un campo limitato, non aventi due a due 

 punti a comune. 



Nel caso che sia data una successione illimitata d' insiemi così fatti 

 e ^ , fj i • • • • > & n >••■•» 



si ponga : 



e» = e nTl + é?, i+2 -f 



Risulta : 



Eie, +e t -\- ) = F(e t ) + F(e t ) + + + ) , 



e poiché 



lim m e' n = o , 



e quindi per l'assoluta continuità di ^(t?) : 



lim F (<?'„ ) = o , 



si deduce che la serie 



F(e l ) + F(e t ) -f . . . 



converge, e si ha : 



+ * + .,.,) = F(«J + + 



Con ciò che precede resta pienamente dimostrato quanto abbiamo sopra asserito, e si 

 conclude che condizione necessaria e sufficiente, affinchè la funzione data cp (x, y) 

 sia sonni/abile nel campo (2), è che esista una funzione assolutamente continua 

 $ (x, y) , di cui la derivata totale simmetrica coincida quasi da per lutto con 

 <P (x,y). 



