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Carlo Seve/ini 



JMemoria XXI. J 



9. — Delle funzioni (x,y), soddisfacenti alle condizioni ora dette, quando ne esiste 

 una, ne esistono infinite, e sono tutte e sole le funzioni, che si deducono dall'espressione 



(4-2; (x, y) + cp (x) + 4* iy) , 



ove : 



<I>, [x,y) = ! I cp {x,y)dx dy , 

 J J R( <>* ) 



e cp (x) e '!> (y) sono due funzioni arbitrarie di x ed y. 



Una qualunque delle (42) si dice funsione integrale o integrale indefinito della 

 cp (x, y), e s' indica col simbolo 



l cp {x,y) dx dy , 



determinato, per quanto è stato ora detto, a meno di una funzione additiva , arbitraria, 

 della forma cp (x) ~\- '\> ( y). 



Per ogni funzione integrale si ha evidentemente : 



h k „ h . k - 



A A <1> (x, y) = A A 0> (x, v) , 



x- y x y 



e quindi : 



qp(.r, v) dxdy = A A <I> («, c). 



10. — Dopo quanto è stato fin qui detto, è manifesta [' equivalenza fra la definizione 

 dell' integrale di Lebesgue e la definizione seguente : 



Una funsione cp (x, y), definita in un rettangolo (2), è sommabile , se esiste 

 una Illusione <D (x, y), assolutamente continua (integrale indefinito) , determinata 

 a meno di una funsione additiva, arbitraria della forma cp (x) -(- tj> (y) , quale 

 abbia come derivala totale simmetrica quasi da per tutto la cp (x, y). 



è — <? — r 



L' integrale definito nel campo (2) £ allora dato da A A c). 



x y 



A questa definizione fa riscontro, nel caso delle funzioni di una variabile , la defini- 

 zione ben nota : 



Una funsione cp (x), definita in un intervallo (a , b) , è sommabile , se esiste una 

 funsione <D (x), assolutamente continua (integrale indefinito) determinata a meno 



