Sul concetto d' integrale indefinito delle funzioni di più variabili 23 



di una costante additiva arbitraria, di cui la derivala coincida quasi da per tutto 

 con cp(x). L'integrale definito nell'intervallo (a, b) è allora dato da (b) — <f> (a). ( 6 ) 



11. — Come già è stato rilevato al principio di questo §, le precedenti considerazioni 

 si applicano al caso che la cp (x, v), invece di essere definita nel campo rettangolare (2), 

 sia definita in un insieme misurabile qualsivoglia E, contenuto in detto campo ; basta con- 

 siderare una funzione cp, {x, y), coincidente con cp(.r,y) in ogni punto di E e nulla in 

 ogni punto dell'insieme complementare, e porre per definizione, ammesso che la cp,(^',y) 

 risulti sommabile : 



E anche facile vedere come dalle precedenti definizioni, mediante i teoremi del § 1, 

 si possano dedurre in modo semplice e spedito le proprietà fondamentali degl'integrali de- 

 finiti. Senza entrare su ciò in particolari, ci limitiamo a rilevare che conseguenza imme- 

 diata del teorema del n° 5 è il seguente : 



Se q> (x, y) è una funzione sommabile nel campo (2), e si ha quasi da per 

 tutto qp (x, y) 2> o, senza che sia di misura (superficiale) nulla l'insieme dei punti 

 in cui rp (x, y) ~\— o, risulta : 



se, ferme rimanendo le altre ipotesi, si ha, quasi da per tutto nel campo (2) 



cp (x, y) <: o. 



Risulta invece : 



Catania, febbraio 1917. 



( 6 ) Cfr. LEBESGUB : Le fons sur /' integration el la recherclie des fonclions pritnitives [Paris, Gauthier- 

 Villars 1904] p. 129. Cfr. anche VITALI : Stille funzioni integ rali [Rendiconti della R. Accademia delle Scienze 

 di Torino. 1900]. 



