Sul problema 

 Nota di CARLO 



Memoria XXIV. 



di Cauchy. 

 SEVERINI n 



Mentre per un' equazione differenziale ordinaria : 



dv 



il problema di Cauchy è stato, dal punto di vista della teoria delle funzioni di variabili 

 reali, risolto in tutta la sua generalità, per un' equazione a derivate parziali : 



(1) p— F(x,y,ff,q), 



ove : 



p=z ' q = dy ' 



resta invece aperto il campo ad ulteriori ricerche. 



Di queste ricerche io mi occupo nella presente nota, ammettendo che la F(x, y, s, q) 

 e la funzione iniziale abbiano le derivate prime, soddisfacenti all' ipotesi di Lipschits. 



E facile vedere come le considerazioni che seguono si possano estendere ad un'equa- 

 zione della forma : 



H (X i ,X t , . . . , X n , 8 ,P lt p t , , Pn)= O 



ove : 



Pi = -g— (1=1,2, , n). 



§ l. 



1. Le ricerche anzidette si fondano sopra noti teoremi, relativi all' esistenza di fun- 

 zioni limiti continue per un insieme infinito di funzioni, definite in un campo comune C, 

 soggette alla condizione di essere tutte comprese fra due limiti finiti assegnabili, o, come 

 brevemente diremo, equilùuitate ( l ). 



(*) Comunicata all' Accademia nell' adunanza del 30 novembre 1916. 



(') Cfr. ARZELÀ : Esistenza degl'integrali udir equazioni a derivate parziali ; Memorie della R. Acca- 

 demia delle Scienze di Bologna 1906. 



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