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Carlo Severini 



[Memoria XXIV.J 



Per maggiore chiarezza diamo in questo primo § gii enunciati ed un cenno delle di- 

 mostrazioni di tali teoremi, riferendoci al caso di due sole variabili : quanto sarà detto per 

 funzioni di due variabili si estende immediatamente a funzioni di quante si vogliano va- 

 riabili. 



Ricordiamo anzitutto che, data una funzione v (x, y) in un campo C, limitata, si dice 

 che due altre funzioni cp(x,y), ${x,y) determinano un intorno della v (x, y), se in ogni 

 punto di C si ha : 



(2) y{x,y)<v{x,y)<iì{x,y)\ 



e che la v (x, y) si dice funzione limite di un insieme infinito di funzioni: 



(3) u (x, v) , <m (x,y) 



definite in C, se, ^comunque si scelga l'intorno anzidetto, sempre esistono funzioni u (x,y) 

 dell'insieme (3), per le quali si abbia: 



cp (x, y) <; u {x,y) <: <|> (x, y). 



Ricordiamo ancora che infinite funzioni diconsi equioscillanti per meno di un nu- 

 mero positivo a, se esiste un numero positivo 5, tale che in ogni cerchio o area di C, 

 la cui massima corda non superi 8, ognuna di quelle funzioni faccia un' oscillazione mi- 

 nore od uguale a a. 



Non si può dire che infinite funzioni equioscillanti per meno di a, siano anche equi- 

 oscillanti per meno di o t <^ a, giacché può non esistere un numero b L > o, che abbia ri- 

 spetto a a t la proprietà, che ha 8 rispetto a o. 



Quando in particolare, comunque si fìssi il numero o, le funzioni date risultano sem- 

 pre equioscillanti per meno di o, le funzioni medesime sono necessariamente continue e si 

 dicono allora equicouliuue; in altri termini infinite funzioni continue nel campo C diconsi 

 equicoutintie, se, assegnato comunque un numero positivo a, sempre esiste in corrispon- 

 denza un numero positivo 8, tale che in ogni cerchio o area di C, la cui massima corda 

 non superi 8, ognuna di quelle funzioni faccia un' oscillazione minore od uguale a a. 



Ciò posto, riferendoci al caso di un insieme numerabile di funzioni ( 2 ), che è il caso 

 che a noi interessa considerare per il seguito, dimostriamo il seguente teorema : 



Data una successione infinita di funzioni : 



(S) u ( (x,y) (i = 1,2, .... ), 



definite in un campo finito C, eqnilini/tate, affinchè esista almeno una funzione 

 limite continua di tale successione, è necessario e sufficiente che si possano asse- 

 gnare numeri positivi, decrescenti, tendenti a zero: 



(4) o» {n=\,2, ), 



ed in corrispondenza successioni parziali della S : 



(5) S(a„) (« = 1,2, .) 



(') Cfr. Arzelà, 1. C. 



