Sul problema di Cauchy 



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ognuna delle quali sia contenuta nella precedente e composta d' infinite funzioni 

 equioscillanli rispettivamente per meno di 



°n («=1,2, ). 



Se v (x) è una funzione limite continua della S, ciascuno degl'intorni: 

 (6) (v(x,y) - ^ , v(x,y) -f ) (» = 1, 2, . . . . ) 



conterrà infinite funzioni di S : e, per un valore fisso di //, le funzioni contenute nell' in- 

 torno (6) saranno evidentemente equioscillanti per meno di o n . Inoltre, se indichiamo con 

 S(o„) la successione di tali funzioni, sarà S(c„) contenuta in S(a / j_ 1 ), per modo che la 

 condizione del precedente teorema risulta necessaria. 



Mostriamo che la condizione medesima è anche sufficiente. 



Possiamo supporre la successione dei numeri (4) tale che converga la serie : 



(7) 



2j„ a, 

 1 



ove ciò non si verificasse si ragionerebbe infatti sopra una successione parziale, estratta 

 dalla (4) e soddisfacente a questa condizione. 



Si considerino le successioni parziali della S : 



(8) SK) (» = 1, 



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ognuna delle quali è contenuta nella precedente e composta d' infinite funzioni equioscil- 

 lanti rispettivamente per meno di 



°„ («=1,2, ). 



Siano : 



8„ (»= 1,2, ) 



quantità positive tali che in ogni cerchio od area di C, la cui massima corda non superi 

 ò„ , le funzioni della corrispondente successione S (o„) facciano tutte un' oscillazione mi- 

 nore od uguale a o n . 



S' indichino poi in generale con 



«», i (x,y) , u nfi {x,y) , . . . , u nJ (x,y) , (» = 1,2, .... ) 



le funzioni di 



(8) . S(oJ (n— 1, 2, . . . . ). 



Supponiamo dapprima che, soltanto per un numero finito di valori di //, esista nel 

 campo C qualche punto, in cui la differenza tra due funzioni appartenenti ad S(oJ , può 

 risultare in valore assoluto maggiore di ko a , ove k è una quantità positiva, indipendente 

 da n. In tal caso, da un certo valore dell' indice n in poi, si ha, in tutto il campo C, 

 qualunque siano r ed s : 



(9) | u n , r (x,y) - n,„, (x,y) | ^ ko„ (« = n\ «'+ I , ). 



