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Carlo Severini 



[Memoria XXIV.] 



Considerando allora ad es. la serie : 



(10) »i,i(.r,v)-f S„ u n+h ! (x,y)— u nA (x, y)\ , 



1 L J 



e ricordando che S(o„) è contenuta in S (a,,^), donde segue, a causa della (9): 



| , (x,y) — u ntì (x,y) ] ^ ko„ {n — ri, 1, . . . . ), 



si trova che questa serie deve, per la convergenza della (7), convergere assolutamente ed 

 in egual grado nel campo C. La somma v {x, y) della (10), che evidentemente è una fun- 

 zione limite della successione S, è poi continua, giacché, scelta a piacere una quantità 

 positiva e, se il numero ri anzidetto è abbastanza grande, perchè si abbia : 



e 



3 ' „" " ' — 3 k ' 

 risulta : 



| v ix, y) — (x, y) \ <* — , 



ed in ogni cerchio od area di C, la cui massima corda non superi <V , 1' oscillazione di 

 v (x, y) deve essere minore od uguale ad e. 



Passiamo al caso che non esista una quantità k sopra detta, e che per infiniti valori 

 di // si abbiano quindi in S (a„) coppie di funzioni , la cui differenza in valore assoluto 

 è in qualche punto di C maggiore di 7a„ . 



Consideriamo in S (o 1 ) , ammesso che esista (nel caso contrario si ragionerebbe sulla 

 prima delle successioni (8), per la quale ciò si verifica) un sistema di funzioni : 



di) "i./, ( - v >- v ), u z>h {x,y) , . . . . , (ft'-Oi+i) 



tali che la differenza fra due qualunque di esse sia, in qualche punto di C , maggiore in 

 valore assoluto di 7<s i . Ove di questi sistemi ve ne fossero più di uno, si potrebbe ad es. 

 convenire di scegliere quello , in cui V indice t t ha il più piccolo valore, se i sistemi non 

 hanno tutti in comune la prima funzione ; quello in cui [' indice / 2 ha il più piccolo va- 

 lore, se i sistemi hanno tutti in comune la prima funzione ma non la seconda, e così via. 

 Facciamo vedere che le (11) sono in numero finito. 



A tal' uopo osserviamo che, poiché in ogni area di C, la cui massima corda non su- 

 pera b L , ognuna delle (11) oscilla per meno di a,, se in (x,y) si ha: 



( 12 ) ! u i,h {x, y)—uj,t t (x, y) | > 7o 4 , 



risulta, in ogni punto di C interno al cerchio di centro (x, y) e raggio eguale a 8, : 



(13) | u tA {x,y)—u 1>ti (x,y)\ > 5o, . 



Ciò posto consideriamo un campo C, interno a C, tale che la minima distanza b\ fra 

 un punto del contorno di C ed un punto del contorno di C sia minore di 8 t . 



