Sul problema di Cctuchy 



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Faremo vedere che sono in numero finito quelle funzioni (11), per le quali la diffe- 

 renza fra due qualunque di esse è in qualche punto di C maggiore in valore assoluto 

 di 5a 4 . Se è possibile di tali funzioni ne esistano invece infinite, e s' indichino con : 



(H) u ^, h - te*).--- ( t* t < t, h+ì ) 



Si considerino le differenze : 



u i,i„ (x t y)—u t s(x t y) ( i=2, 3, . . . . ) , 



e sia E 1' insieme dei punti di C, in cui una almeno di queste differenze risulta in va- 

 lore assoluto maggiore di !3a ( . 



Se (x,,y ) è un punto limite di E, la u , (.v, y) differisce in (.v o ,y ) da infinite 



altre delle (14) : 



(15) "x, * Pì ( X '^> »x, t Pi ^ X ^^ ' ( ^<^ + i ) 



per più di 3a t ; e, nel cerchio di centro {x ,y ) e raggio eguale a ò', , si ha pertanto: 



I «i, t H y~,y) — «i, t Pl <- r .3 ; ) ! > a i (* = i,2,....). 



Delle differenze : 



u Xtini (x,y) - u lltp .(x,y) (t = l,2, ) 



ve ne devono essere infinite di un medesimo segno nel cerchio di centro (x ,y ) e raggio 

 8 t ', ad es. positive ; in modo che si hanno infinite funzioni tra le (15), siano le funzioni : 



,i6, »,.,„{*.» C = v=C'') 



per le quali risulta nel detto cerchio : 



u lt t (x, y) < u Xt ^ (x,y) — o, ( / = 1, 2, ) . 



Segue da ciò che deve esistere una porzione di spazio A 4 , almeno un cilindro di rag- 

 gio ò', e di altezza a, , entro la quale non cade nessuna delle superficie rappresentataci 

 delle infinite funzioni (16). 



Sulle funzioni (16) si può ragionare, come si è fatto sulle (14), e si trova analoga- 

 mente che esiste della (16) una successione parziale, composta d'infinite funzioni: 



(17) u Xjiri {x, y ) (' = ^<^")' 



tali che le differenze : 



u 1 , (x,y) — u , (x,y) (i=l, 2, . . . . ) 



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