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Carlo Severi ni 



[Memoria XXIV.] 



sono dello stèsso segno ed in valore assoluto maggiori ed uguali a o ( in tutti i punti 

 di un cerchio di raggio o' r E si trova ancora che deve esistere una porzione di spazio A, , 

 almeno un cilindro di raggio b\ e di altezza a ( , interamente esterna a A t , entro la quale 

 non cade nessuna delle superficie rappresentatrici delle funzioni (17). 



Così continuando si ottengono infinite porzioni di spazio, ognuna delle quali ha un 

 volume maggiore ed uguale a ™\' 2 . o 1 , è interamente esterna a tutte le altre, ed è con- 

 tenuta nello spazio racchiuso dalla superficie cilindrica, colle generatrici parallele all'asse s, 

 avente per direttrice sul piano (x,y) il contorno di C, e dai piani s — l, s = L, ove con 

 / ed L s' indicano i due limiti, fra cui sono contenute tutte le funzioni di S. 



Ciò è assurdo, e si conclude pertanto che devono essere in numero finito quelle fun- 

 zioni (11), per le quali la differenza fra due qualunque di esse è in qualche punto di C 

 maggiore in valore assoluto di 5a ( . 



Da questo risultato si trae ora che devono essere in numero finito le (11) , giacché, 

 se in un punto di C è soddisfatta la (12), per quanto è stato sopra detto, la (13) è sod- 

 disfatta nel cerchio che ha per centro quel punto e per raggio 5, , e quindi certamente in 

 una porzione del campo C 



Delle (11) si considerino gl'intorni: 



(18) (u Xitl (x,y) - 7o t , u If/ì (^,3') + 7o i ) (/ = 1,2, ....)■ 



entro i quali sono contenute interamente tutte le funzioni di St'aJ. 



Fra questi intorni ve ne sarà uno almeno, nel quale sono contenute infinite funzioni 

 di ognuna delle successioni (8). 



Si consideri ad es. quello, che corrisponde al più piccolo valore dell' indice /', e s'in- 

 dichi con : 



(19) ( u It h (x,y) - 7o, , Hi ri ( X ,y) + 7o 4 ) . 

 Siano : 



S'(a n ) (n= 1, 2, . . . . ) 



le successioni parziali estratte rispettivamente dalle (8) , formate colle funzioni contenute 

 nel]' intorno (19). 



Come sopra, 1' esistenza della funzione limite richiesta si dimostra immediatamente, 

 se, soltanto per un numero finito di valori di il, esiste nel campo C qualche punto, in cui 

 la differenza tra due funzioni appartenenti ad S' (o n ) può risultare in valore assoluto mag- 

 giore di ko n , k avendo il significato detto. Quando invece ciò non si verifichi, ammesso 

 che .esista un sistema di funzioni di S(o. 2 ), contenute nell'intorno (19), per le quali la dif- 

 ferenza fra due qualunque di esse sia , in qualche punto di C, maggiore in valore asso- 

 luto di 7a 2 (nel caso contrario si considererebbe la prima delle successioni (8), che soddisfa 

 a questa condizione) se ne può, come precedentemente, fissare una, u 2 (x,y), in modo 

 che nell' intorno : 



(«a, r, (* t y) — 7° 2 , « 2) ,- 2 (X, V) + 7a 2 ) 



cadano ancora infinite funzioni di ognuna delle (8), e così di seguito. 



