Siti problema di Cauchy 



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Se, ove non si presenti mai il primo caso, colle funzioni via via ottenute : 

 si forma la serie : 



"i, r 4 + £« [« W+I ,,. /(+i (-r, v) —u n>rn (x,y) , 



questa serie, per quanto è stato sopra detto, converge assolutamente ed in egual grado 

 nel campo C, ed ha come somma una funzione continua v{x,y), che è una funzione li- 

 mite della successione S. Con ciò il teorema è pienamente dimostrato. 



2. La condizione del precedente teorema è in particolare soddisfatta, se per ogni nu- 

 mero positivo o, arbitrariamente scelto, esiste sempre in corrispondenza un valore iz del- 

 l' indice i, tale che tutte le funzioni : 



(20) Ui (x,y) (i^io) 



siano equioscillanti per meno di a. 



Questa condizione e [' altra che si possa assegnare un valore n dell' indice i, in modo 

 da avere in tutto il campo C, qualunque sia p : 



(21) I \ &>y) _ ",-_+/> < r >3') I ^ s 



e essendo anch' esso un numero positivo, arbitrariamente scelto, sono insieme necessarie 

 e sufficienti , affinchè la successione data S tenda in egual grado nel campo C ad una 

 funzione limite continua. 



3. Se in particolare si suppone che le funzioni date : 



(S) u t (.v, v) (/= 1,2, .... ) 



siano continue, la prima delle condizioni del precedente numero equivale evidentemente 

 all' equicontinuità delle funzioni medesime, giacche si può allora assegnare una quantità 

 positiva ?3 , tale che in ogni cerchio od area di C, la cui massima corda non superi o 3 , 

 oltre alle (20), anche le 



Ut (xy) ( i < fa) 



oscillino per meno di a ; in modo che 1' equicontinuità delle funzioni di 8 è condizione 

 sufficiente per 1' esistenza di una funzione limite continua. 



L' equicontinuità delle funzioni date e la condizione espressa dalla (L'I) sono insieme 

 necessarie e sufficienti, affinchè in questo caso , la S tenda in egual grado ad una fun- 

 zione limite continua. 



4. Se la successione S è composta di funzioni equicontinue , più generalmente 

 equioscillanti per meno di un dato numero positivo a , poiché l' oscillazione di ognuna di 

 esse in tutto il campo C non può superare una medesima quantità positiva , finita, per 



