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Carlo Sederini 



Memoria XXIV.] 



concludere che le tti (x,y) sono equilimitate, basta sapere che per ogni /' esiste un punto 

 (Xj,yi) di C, nel quale si ha: 



| utix^yù ($= 1,2, .... ), 



M essendo una costante, positiva, finita. 



A riconoscere che la successione S è composta di funzioni equicontinue giova il se- 

 guente criterio. 



Una successione di funzioni 



(S) u, (x,y) (i=z 1,2, .... ) r 



continue in un campo C, è composta di funzioni equicontinue, se ognuna di tali 

 funzioni soddisfa ivi alla condizione di Lipschitz : 



| Ui (x,y) -u^y') | < k j \ \ x-x' 1 + | y— y' | J (* = 1,2, . . . ) 



k essendo una costante positiva, finita, indipendente dall' indice i e dalla scelta 

 dei punti (x, y), (x', y') nel campo C. 



5. Una successione numerabile o più generalmente un insieme infinito qualsivoglia 

 di funzioni equicontinue ed equilimitate, ammette una funzione limite inferiore ed una 

 finizione limite superiore, entrambe continue ; intendendosi per funzione limite infe- 

 riore la funzione, che, in ogni punto del campo C, ha per valore il limite inferiore dell' in- 

 sieme dei valori, assunti dalle funzioni date in quel punto, e per funzione limite superiore 

 la funzione, che, in ogni punto di C, ha per valore il limite superiore dell'insieme dei va- 

 lori delle funzioni medesime. 



Che le due funzioni limite inferiore e limite superiore siano continue segue evidente- 

 mente dal fatto, che esse oscillano per meno di L!cj in ogni porzione del campo C, nella 

 quale le funzioni date oscillano per meno di a. 



6. Ancora si osservi che funzioni equicontinue di funzioni equicontinue, risultano equi- 

 continue. Se ad es., oltre alle : 



(S) », (x.y) (i=l,2, ), 



equicontinue in C, si considerano le funzioni equicontinue : 



f {x,y,a) (*=1,2, -...), 



per x ed y che siano coordinate di un punto di C e z variabile fra / ed L, ove l ed L 

 sono due limiti, fra cui si mantengono costantemente comprese le u L (x, y), la successione : 



f(x,y, u t {x,y)) (*.= 1,2, ) 



risulta composta di funzioni equicontinue in C. 



In particolare, se le Ui(x,y) tendono uniformemente nel campo C ad una funzione. 



