Sul problema di Cauchy 



9 



limite continua v(.v,y), ed f(.v,y,s) è una funzione continua di x, y, &, per x ed y, che 

 siano coordinate di un punto di C e z variabile fra / ed L, la successione delle funzioni: 



f{x,y, u, (x,y)) (/ = 1, 2, . . . . ) 



tende in egual grado, nello stesso campo C, ad f(x,y, v{x,y)). 



7. Per ultimo c' è luogo a considerare il caso, che la proprietà d' infinite funzioni di 

 due e più variabili di essere equioscillanti per meno di un numero positivo a, e in parti- 

 colare di essere equicontinue, abbia luogo parzialmente rispetto ad alcune delle variabili. 



Ad es. infinite funzioni di due variabili : 



(3) u{x,y\ w(x,y) , 



definite in un campo C, si diranno equioscillanti per meno di o rispetto ad X, se, per 

 ogni valore fisso y' di y, esiste sempre in corrispondenza un numero positivo o , dipen- 

 dente in generale da y', tale che, in ogni tratto di variabilità di x di ampiezza minore od 

 uguale a ò, ognuna delle funzioni : 



u (.v, >j) , <w (x, y ) , 



faccia un'oscillazione minore ed uguale a a. In particola re le (3) si diranno equicontinue 

 rispetto ad x, se la precedente proprietà si verifica, comunque si fissi il numero a. 



Interessante è il caso che la quantità 8 anzidetta possa determinarsi indipendentemente 

 da y. Si dirà allora che le (3) sono, nel campo C, equioscillanti per meno di a ri- 

 spetto ad x, uniformemente per tilt ti i valori y, ed in particolare, quando il numero ò 

 esista e sia indipendente da y, comunque si fissi a, che sono nel campo C equicontinue 

 rispetto ad x, uniformemente per tutti i valori di y. 



Al teorema del n° 4 corrisponde, nel caso attuale, il seguente : 



Le f un s ioni : 



Ui (x,y) (i = 1,2, ) 



definite in un campo C, sono equicontinue rispetto ad x uniformemente per lutti 

 i valori di y, se ivi si ha : 



| Us (x, y) — u f (x', y) I ^ k | x— x' I ( i = 1 ,2, . . . . ) 



k essendo una costante positiva, finita, indipendente dall' indice i e dalla scelta 

 dei punti (x, y), (x', y) nel campo C. • 



§ 2. 



8. — Prima di venire allo studio dell'equazione (1), nelle ipotesi poste per la F (.v,y,s,q), 

 conviene che ci occupiamo dell' equazione : 



(22) p - G (.v\ v. : . q) , 



AITI ACC. SERIE V. VOI.. X. — Meni. XXIV. ' 2 



