Sul problema dì Caucky 13 



riguardati come funzioni dei loro valori iniziali ( 5 ). saranno le dette funzioni yi , s' a , pi , qi 

 continue nel campo (26") e dotate di derivate prime continue. 



9. — Indichiamo ora con : 



(30) 



P 



= H ( x, xi , yi , si , pi , qi ) 

 = K{x, x' 0) yi, si, pi, qi ) 

 — L(x, xi , yi , si , pi , qi ) 

 = M i x, xi , yi , ài , pi , qi ) 



gl'integrali del sistema (24), corrispondenti a valori iniziali xj, y Q ', s ', p ', q '. 



Le funzioni (30) restano definite, come è stato dianzi detto, in un campo, che com- 

 prende il campo : 



■(31) 



x 

 x ■ 



y 



Po 



li 

 a 



T 

 b_ 



T 



c 



T 



d_ 

 4 

 e 



T 



x 



V 



^ yi 



^ si ^ s + 

 ^ ql ^ q + 

 ^ pi <S p + 



xi + // 



, fi 



T 



b_ 

 4 

 c 

 4 

 d 

 4~ 

 e 



T ' 



dH dK dL dM 



ed in tale campo esse e le loro derivate -~— , , , ^— ammettono derivate parziali 



r dx àx dx dx 



prime continue rispetto ad xj, y ', s \ pó, qó ■ Soddisfano inoltre all'equazione (22), se a 

 questa equazione soddisfano i valori iniziali, se cioè si ha : 



(32) 



pi = G ( xi , yi , si , qi). 



Possiamo intendere che la G (x \ y ', s , q ') al variare di x ',y o ', s ', q ' entro i limiti 



dati dalle (31) vari entro i limiti p i} — , p -\ — — : quando infatti ciò non si verificasse, 



4 4 



si potrebbero restringere convenientemente, ferma restando la condizione del n° 8, i limiti 

 di variabilità di x ', y ', s ', q ' e sostituire al campo (31) il nuovo campo che così si ot- 

 terrebbe. 



Se ora supponiamo di sostituire nell' espressione : 



(33) 



G (.i-, y, s, q) , 



( 5 ) Cfr. /lagnerà 1. c. ( ;! ) pag. 303. 



