Sul problema di Cauchy 



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.Ma per le (30'), (34) e (39) si ha : 



a {x ,yó ) = <p' {y'«) — <p' [y'o) = o ■. 



risulta pertanto identicamente : 



A ( x, tjo ) = o, 



ed è identicamente soddisfatta, come abbiamo sopra asserito, la (37). 



11. — Si consideri 1' equazione : 



y—H K (x, y ') = o . 



Poiché si ha : 



= - 1 , 



X — Xo 



e 1' equazione medesima è soddisfatta dai valori : 



x = x , yó = y , y = y , 



se ne può trarre y ' in funzione di x e di y : 



(42) y ' = ^>(x,y) , 



per tutti i punti di un certo intorno di (x ,y ) : 



(43) 



\ 



X a — Il X <= X n -\- CI 



y — t> ^ y ^ y -f- b . 



In questo intorno, opportunamente scelto, la (42) risulta dotata di derivate prime con- 

 tinue, e per x = x , y = y Q assume il valore y . 



Dalle (30') e dalla (42) si deducono ora le funzioni : 



(44) 



b = K i [ x, <|> (x, y) ] ' = K % (x,y) 

 p — L i [.v,'H^,v) | = L % (x, v) 

 q = M i | x,} (.v,v)| = M t {x,y) , 



dotate anch' esse di derivate prime continue nel campo (43), e per le quali si ha inoltre, 

 a causa dell' identità (37) : 



(45) 



2K, (m,y) r ( 3K, (x,y) 



ATTI ACC. SERIl- V. VOI.. X. — Mem. XXIV. 



