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D' altra parte, come è stato detto nel precedente ninnerò, le (30') soddisfano all' e- 

 quazione (22) ; dalle (44) e (45) segue dunque che 



(46) 



* = K 2 (x,y) 



è un integrale di detta equazione. 



Se nella (46) si pone x = x si trova per le (34) : 



s — K n (aj , vi,) = (p (y' ) , 



e quindi, tenendo presente che v è arbitrario, mentre x è fìsso : 



K t (x ;y) = cp(if) . 



12. — L'integrale anzidetto della (22) è l'unico integrale, che per x = Xo si riduca 

 alla funzione iniziale data cp (y). Restando infatti x fisso, le equazioni (34) e (35) deter- 

 minano, per ogni valore di Vo', tutti i valori iniziali degT integrali del sistema (24) , e ri- 

 sulta quindi determinata la linea caratteristica della superficie integrale s = k {x,y), uscente 

 dal punto (#<>', Vo', 8o ). Due integrali, che si riducano ad una stessa funzione iniziale 

 8 cp ( v) per x = Xo , avendo pertanto in comune tutte le linee caratteristiche, devono 

 coincidere. 



§ 3. 



13. — Consideriamo ora l' equazione : 

 (1) p — F (x, v, 3, q) , 



ed ammettiamo che la F(oc,y,s,q) possegga in un dato campo, che supponiamo sia an- 

 cora il campo (23), le derivate prime, soddisfacenti all' ipotesi di Lipschita : 



F' x (.v, v, a, q) — F',- {x',y, a, q) ^ o | x—x | + p | y—y \ -f- y | a- 



(47) 



F' y {x,y,.s,q) — Fy{x,y',8,q) 



< a | x — x | + P | v — y | -\~ 



8 1 ^ — | 



+ &k— q'\ 



F' s (x, y, 8, q) — F' s (x',y\ 8, q') ^ a | x—x' \ + $\y y' | + Y I I + 8 I q~ Q I 

 F'q < x, y, 8, q) — Fq (x, y, s\ q) ^ a | x—x | -f- p | [y—y) -f y j 8—8 \-\-b\q- -q'\ , 



ove a, p, f, Ò sono costanti positive, finite. 



Fissata comunque una successione di numeri positivi, decrescenti, tendenti a zero 



(48) 



(v=l,2, 



