Su/ problema di Cauchy 



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si costruisca una successione di polinomi razionali interi : 







G v {x,y,3. 



q) 



(v — 1,2, ), 



soddisfacenti nel campo (2 



3) alle condizioni : 









/ 



F{x,y, 8, q) — Gv 



(x,y, s, q) 









dF(x,y,8,q) dG v 



(x,y,8,q) 



^ °v ■ 







dx 





(49) 



j 



dF{x,y,s,q) 3G V 

 dy 



(x,y,3,q) 

 dy 



^ a v ( v — 1,2,...) 







dF (x,y,3,q) dG„ 



(x, v, 8,q) 



SS °v 









ds 







dF(x,y, 3, q) dG v (x, v, 8, q) 







1 



dq 



dq 







F(x ,y,, ~o, <?») — G v ( A 



o , 3'o , '-'o , q^ 



) =0 , 



e tali che le loro derivate 



seconde siano equilimitate. Ciò è 



sempre possibile, giacché per 



le (47) si possono in 



infiniti modi ( 6 ) costruire i 



polinomi : 











,<?) 



(v- 1,2, ), 



in modo che si abbia 



nel 



campo (23) : 









| 



F {x, y, s, q) — g\ 



(•v, y, .5', q ) 



a 



2 







dF{x,y,s,q) dg v 



(■v, y, s,q) 











dx 









dF(x,y,3,q) dg v 



[x,y,8, q) 



<£o v (v=l f 2,...) 







dy 



dy 







dF(x,y,3,q) dg v 



(x, y, 3, q) 











ds 









dF{x,y,s,q) dg v 



(x, y, 3, q) 







\ 



dq 



dq 



C') Cfr. SEVERINI : Sulle equazioni differenziali ordinarie contenenti un parametro arbitrario', Rendic. 

 del R. Istituto Lomh. di se. e lett., Serie II, Voi. XXXIII, (1900) p. 2-9. Il procedimento seguito in questa 

 nota per funzioni dì una sola variabile si estende immediatamente a funzioni di quante si vogliano variabili, 

 e dal procedimento medesimo segue anche subito la possibilità di soddisfare all' ultima condizione, relativa 

 alle derivate seconde. 



