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Carlo Severi ni 



| Memoria XXIV. | 



corrispondenti rispettivamente ai sistemi di valori iniziali (x \ 1,0,0,0), (xó , 0,1,0,0) 

 [xó, 0, 0, 1,0), (xó, 0, 0, 0, 1). D'altra parte, per il modo come sono stati costruiti i po- 

 linomi Gv , è chiaro che i coefficienti del sistema di equazioni (55) sono nel campo (53), 

 equilimitati. Ne risulta che anche le dette derivate delle funzioni (54), rispetto ai valori 

 iniziali yó, s ', po', QÓ, sono, come quelle rispetto ad x, equilimitate nel campo (53). 



Alla stessa conclusione si perviene in ultimo per le derivate delle funzioni medesime 

 rispetto ad x ', se si ricorda ( 8 ) che, posto : 



X y>0 ~ X v {x'o, y'o, s , g'o), y v>0 == Y w {x'o, y' , s'o, g' ) 



(v=l,,s.V.) 



Z v.o = z v te . 3'»> s« , Qo) , VjO = Q v {x'o , y'o , s , q'o) , 



risulta : 



<?v« ey v dy v c% , 3y v 



ds v ds v ds v ds v ds v 



avr = - w: w: (/, "+ Q v.o <?«)+ -^r (x V)0 +2 v>0 -gg- (n.o+ z v )0 »•) 



3A, 3/) y 3/> v dpi, 3p v 



= ^ v .o ^ó+0 ViO s'è)-}- -g^r- {x V)0 ~\-Zy, P°)~^~ W y)0 -\-Zy tQ qo) 



dq v cV/ v dq v dq v dq 



Dall' essere le derivate delle funzioni (54) equilimitate in tutto il campo (53) segue 

 (§ 1, n° 4) che le funzioni medesime sono in questo campo equicontinue ; e, per l'osser- 

 vazione contenuta nel n° 6 , si può ancora asserire , in base alle equazioni (50) , che il 

 medesimo si verifica per le derivate delle (54) rispetto ad x. 



Riguardo alle rimanenti derivate prime delle (54), risulta dalle (55) e dalle (56), per 

 la suddetta osservazione del n° ó e per il teorema del n° 7, che sono equicontinue ri- 

 spetto ad x, uniformemente per tutti i sistemi di valori di xó, yó, só, pó , qó, compresi 

 entro i rispettivi limiti (53); il che significa (n. 7) che, fissata comunque una quantità posi- 

 tiva t, esiste in corrispondenza una quantità positiva p, tale che in ogni tratto di variabilità 

 di x, di ampiezza minore od uguale a p, ognuna di quelle derivate fa un' oscillazione mi- 

 nore od uguale a t, qualunque sia il sistema di valori considerati pei' x'o, y'o, s'o, p'o, qo r 

 nei rispettivi intervalli (53). 



16. — Ciò posto sia data nell'intervallo | yo ^- , yo -f- — j una funzione : 



3 —f(v) 



( 8 ) Cfr. Bagnerà, 1. c. ( 3 ) pag. 310. 



