Sul problema di Cauchy 



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e, per quanto è stato detto nel n° 15, le derivate parziali 



3#i >v (-v, yó) 



3v„ 



= v',v'-fl, 



sono equicontinue rispetto ad .v, uniformemente pei' tutti i valori di Vo', è chiaro che sì 

 può assegnare una quantità positiva X, minore di //, ed una quantità positiva A , in modo 

 che nel campo : 



(62) 



x - - a. ; x 

 3'o j~ ^ 3'o' 



\ 3 ; o — & ^ 7v ■ i y 



x. -j- A. 



4 

 & , 



V, 



risulti 



(63) 



2 (y y —H l V (x,yó ] 



> 4 



(v = v', v'+ 1, 



Dallo stesso n° 15 segue che le derivate 



d(y„— H 1 Jx,y' ) _ dH Iìy (x,y ' 



ìx 



(v — v', v'-f 1, 



sono equilimitate, e può quindi assegnarsi una quantità positiva i?, in modo da avere nel 

 campo (62) : 



(64) 



3 (v v — i-/ I-v (.v, v ') 

 ~dx~~ 



B 



= v',v' + l. .... )• 



Se ne deduce che in un campo V, pel quale si abbia : 



(65) 



x— x 1 ^ X , | y v —y a \^b, B\ x—x \ + | y v — y„ | < 



A b 

 4 



ognuna delle (61) definisce j'o', come funzione implicita di x e di yv : 



(66) 



y.' = % [x, //v ) 



l, 



dotata di derivate prime continue. 



