3Ieuioria XXV. 



Sopra l'algebra delle funzioni permutabili di 2 a specie 



Nota di MARIA PRECCHIA 



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RELAZIONE 



della Commissione di revisione composta dai soci effettivi 

 Proff. M. CIPOLLA e C. SE VER INI {Relatore) 



La Memoria della Sig.na M. Precchia Sopra l'Algebra delle funsioni permutabili 

 di seconda specie contiene un'esposizione sistematica, accurata, rigorosa dei risultati, che 

 nell' argomento sono stati ottenuti, con notevoli osservazioni ed aggiunte, fra le quali è 

 da segnalare in modo speciale lo studio delle equazioni integrali di quarto grado. 



Proponiamo pertanto che la Memoria venga inserita negli Atti dell'Accademia. 



La teoria algebrica delle funzioni permutabili, fondata da Volterra, (') ed ulterior- 

 mente sviluppata da Evans, C) si arricchì , come è noto, di nuovi importanti risultati per 

 opera di Lauricella ( 3 ) , il quale, nel caso delle funzioni simmetriche, permutabili di 2 a 

 specie, pose le basi per una trattazione generale della teoria medesima. 



In questa nota espongo sistematicamente le ricerche di Lauricella, aggiungendo varie 

 considerazioni, che credo non prive d' interesse, allo scopo di meglio chiarire e mettere 

 in luce alcuni risultati, ed estendo inoltre le dette ricerche alle equazioni integrali di 4° 

 grado, che non furono trattate dal Lauricella nè, che mi sappia, da altri autori. 



Ricordiamo i seguenti teoremi: 



Teorema di Hilbert-Schmidt C) Sia k (x, y)=k' (x,y) -f ik"(x,y) //// nucleo ad 

 autofunsioni reali, nel campo a < ) x \ < b. Indichiamo con 9i(x), <|>i(x), (i=l,2,....J 

 le sue coppie di autofunsioni reali; si ha allora che una funzione g(x) della forma: 



(') Lefons sur les fonclions de Ligues. (Paris, Gauthier-Villars — 1913). 



( 2 ) Sopra /'algebra delle funzioni permutabili. (Memorie della R. Accad. dei Lincei, serie 5 a voi. 8°. 1911). 



( 3 ) Cfr. le note: Sopra i nuclei reiterali (Rendic. R. Accad. dei Lincei, voi. 20". serie 5*, i° semestre); 

 Sopra le funzioni permutabili di 2 a specie (Rendic R. Accad. dei Lincei, Voi. 22°. serie 5 a , i° semestre) : 

 e la memoria: Sopra l'algebra delle funzioni permutabili di specie (Annali di Matem. pura ed applicata, 

 tomo ai serie 3 a ). 



(') Questo teorema è dimostrato supponendo reali le funzioni k(x,y) ed //(vi, ma l'estensione di esso 

 al caso in cui k(xj/) ed h (y) non siano reali, è immediata. 



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