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Maria Precchia 



[Memoria XXV 



è sviluppabile in serie di autofunsioni ortogonali cpi(x), convergente quasi da per 

 tutto nelf intervallo (a,b), cioè è: 



g (x) = <P« (■*) f a g (t) <?k [t) di ; 



ed una funzione g, (x) della forma : 



g { lx) = f k(y,x) h t (y)dy 



è sviluppabile in serie di autofunsioni ortogonali \ K (x), convergente assolutamente 

 quasi da per tutto iteli' intervallo (a, b), ossia è: 



g t (-v) = V" {x) J a Si O c r* W dt 



li. Sia 



(l) u { (x,y) , u. (x,y) , 



una serie infinita di funzioni ortogonali, reali, nel campo a_<j"^j<!b. Se una 

 funzione K (x,y)= K' (x,y) -j- i K"(x,y) //r/ /r/ parte reale e la parte immaginaria se- 

 paratamente sommabili insieme ai loro quadrali e insieme ai prodotti di ciascuna 

 di esse per una qualsiasi delle (l), e se nel caso in cui la serie (1) non sia chiusa, 

 soddisfa inoltre, come è necessario alle condizioni : 



j ' \ ' le [x, y) 6,. {x, y) dxdy = 0, (r = 1, 2 , 



t( J ti 



ove 8 r (x, y), (r=l,2,...) sono le funzioni di un sistema di funzioni ortogonali, 

 complementare al sistema (1), è sempre possibile, ed in infiniti modi, determinare 

 una serie di numeri interi, postillivi e crescenti indefinitamente n t , n„ . . . . , in 

 modo che si abbia : 



"l «2 



k (x, y) = «i u t (x, y) + 2, a < u ( y) 



«i+i 



ove 



a t — I / k ix,y) u t (x, y) dxdy (t— 1, 2, ) . , 



£ c/;<? /« ser/'g <7 secondo membro sia in tutto il campo a _< j yj <T b convergente 

 uniformemente in generale. 



