Sopra V algebra delle funzioni permutabili di 2" specie 



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[II. Sia K(x,y)=K'(x,y) -\-iK"(x,y) un nucleo tale che le funzioni K'(x,y) e K"(x,y) 

 siano sommabili insieme ai loro quadrati nel campo a < j x i < b , il quale am- 

 metta come autofunzioni gli elementi di due serie di funzioni ortogonali reali e 

 chiuse, corrispondenti ad autovalori die possono essere in tutto od in parte non 

 reali, (incluso eventualmente V autovalore co). Se cp t (x), <J>| (x), (i=l,2, ...) sono le 

 coppie di autofunzioni di K(x,y) carrispoudeiiti rispettivamente agli autovalori 

 finiti Xj = X'i -j- i X" (i = 1, 1!, . . .), è sempre possibile determinare , ed in infiniti 

 modi, una serie di numeri interi positivi e crescenti indefinitamente , m p m,,, .... in 

 modo che si abbia 



I 



IV. Due nuclei che hanno le parti reali e le parti immaginarie sommabili 

 insieme ai loro quadrali nel campo a <T \*\ < b e ammettono i medesimi 

 autovalori reali o complessi, f autovalore ce eventualmente incluso) ai quali corri- 

 spondono come autofunsioni gli elementi di due medesime serie ortogonali reali 

 e chiuse, coincidono . 



V. Sia K (x,y) = K' (x,y) -f- i K'' (x.y) //// nucleo tale die le funzioni K'(x,y) e 

 K"(x,y) siano sommabili insieme ai loro quadrati nel campo a < j * < b, e che 

 ammetta autofunzioni tulle reali. Se cp r (x), ^ r (x), (r=l, 2, ...), sono le sue coppie di 

 autofunzioni ortogonali corrispondenti agli autovalori X,— X' r -]- i X" r (r=l, 2, . . . .), 

 la funzione K' (x,y) ammette come coppie di autof unzioni ortogonali le <p r (xì, <J> r (x) 



X'? ~r~ X' * 



(r=l, 2, . . .) corrispondenti agli autovalori finiti — z-, per X' r == 0, e air aiti o- 



k r 



valore ce />tr X' r = 0, (r = 1,2,...); e la funzione K"(x,y) ammette come coppie di 



autofunzioni ortogonali le qp r (x), <|> r (x) (r = 1,2,...) corrispondenti agli autovalori 



K + X"? , „ I n 

 finiti per K r =j= e alt autovalore x per X r = 0, (r = 1, 2, . . .) . 



A. r 



VI. S/7* p (x,y) /<// nucleo simmetrico, ad autofunzioni reali. Indichiamo con 

 qpi (x) (i = 1,2,...) //// sistema completo ili autofunsioni ortogonali del nucleo 

 p (x.y) £ co» pi(i= 1, 2, . . .) /« corrispondente serie di autovalori ; sia poi (x) 

 (i = 1,2,...) eventuale serie di funzioni ortogonali complementare alla serie 

 (pi (x) (ìl=1, 2, .. .). condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione 

 q (x,y), ad autof unzioni reali, sia permutabile di 2» specie con la funzione p (x,y)- 

 <? c7/£ siano soddisfatti le relazioni : 



(2) (-^ - q (5, n) m (5) «a fa) ^ = o 



(3) /" l" g (5, /j) ept (tylpj (tj) rf&ft] = 



• « . a 



(4) f f <?(S,v|) 9/(5)<Pjto)<&*»! = 



