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Maria Precchia 



| Memoria XXV. 



§ l. 



Proprietà delle funzioni simmetriche permutabili di 2» specie. 



1. Siano p (x,y) e q (x.y) due funzioni simmetriche, ad autofunzioni reali, nel campo 

 a ^ j | b> cne indicheremo nel seguito con a. 



Si ha il teorema ( 5 ) : Condizione necessaria e sufficiente affinchè p (x,y) e q (x,y) 

 siano permutabili di 2* specie (*) e che la funzione 



f{x,y) = p q (x,y) 



sia simmetrica. 



Infatti se le funzioni p (x,y) e q (x,y) sono permutabili si ha : 



f(x,y) = jl p(x,l)q{l,y)dl = \[ p\y ,1) q {l,x) di = f{y,x) 



cioè la f(x,y) è simmetrica. 



Viceversa supposta la f(x,v) simmetrica, sarà: 



\ b a P\xfì q (ly) di = fi p (y,l) q (l,x) di = \[ q (x,l) p &y) di 



2. La condizione di permutabilità di due funzioni simmetriche data dal precedente 

 teorema, può mettersi sotto altra forma. Vediamo prima quali sono le condizioni necessarie 

 e sufficienti, affinchè tre funzioni simmetriche, ad autofunzioni reali, nel campo a, / {x,y) y 

 p (x,y) e q (x,y) siano legate dalla relazione : 



(5) f{x.y)='pq{x,v). 

 Indichiamo con 



(6) <p t <*), *,(*) 



un sistema completo di autofunzioni ortogonali de! nucleo p(x,y), e con 



(7) Pi, Pt, 



la corrispondente serie di autovalori. 



Supposta verificata la (5), per il teorema di Hilbert-Schmidt, sarà per ogni valore di 

 y, esclusi al più quelli di un insieme di misura nulla: 



(8) Ax,y) = ^ i c l (y)xp ì {x) 



( 5 ) Sopra le funzioni permutabili di 2' & specie, i. c. (i). 



( 6 ) Si avverte che nel seguito s'intenderà parlare di funzioni permutabili di ■ 2 a specie. 



