Sopra V algebra delle funzioni permutabili di 2 a specie 



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ove 



Ci (v) = j a f [x,y] cp, ipc) dx , (i = 1 , 2, . . . ) 



e quindi ponendo f{x,y) =/' (x,y) / f'(x,y) e c, (y) — c, (y) -f -* c'\ (V) sarà per ogni 

 valore di v, esclusi al più quelli di un insieme di misura nulla: 



(8') / (x,y) = 2, c\ (y) cp, (x) , f'\ (x,y) = E, c'\ {y) cp, : (x) 



ove : 



c'i (y) = /* /' (*,y) <p< (-vi <te ; c", (y) = £ ./ " (jcoO cp, ( x ) dx a =1,2,...) 



L'insieme E dei punti del campo a ove può non sussistere l'uguaglianza (8) e quindi 

 le uguaglianze (8') si otterrà considerando i punti le cui ordinate y appartengono al detto 

 insieme di misura nulla, e per ognuno dei rimanenti valori di y considerando eventual- 

 mente ogni volta un insieme di punti di misura lineare nulla. 



Inoltre essendo: 



ci (y) = j[ P ! /* q (tv) cp, (x) dx ] (i=\, 2, . . . ) 



si ha ancora per il teoi'ema di Hilbert-Schmidt, escluso al più un insieme di punti di mi- 

 sura lineare nulla 



(9) c t (y) - ZjC u q>j(y) (* = 1, 2, ....) 



ove 



cu = j a ci (y) <pj (y) dy 



posto allora c u : = c' u ~\- i c" l} , sarà escluso al più un insieme di misura lineare nulla 



(9') c\ (y) = 2, c' u cp, (y) ; e" (y) = 2, c" i} cp, (y) 



ove 



c'u = f a c'i (y) cp, (y) dy ; c% = f a c" (y) cp 7 (y) dy (/,/ = 1,2,...) 



L'insieme .F dei punti ove non si ha (9) e quindi le (9') è evidentemente di misura nulla. 

 Posto allora 



g'(x,y) = 



2 i | S j c'y rp, (y) j cp, (.r) 



