Sopra V algebra delle funzioni permutabili di 2° specie 



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ove indichiamo con t L il numero delle autofunzioni della serie (6) corrispondente ad uno 

 stesso autovalore p l = p-2 = == -^/i c ' e " a sei 'ie (7), con t 2 il numero di quelle corri- 

 spondenti all'altro autovalore successivo p/ i J rl = Pt + 2 =•■•• — P/ L + 2 della serie (7), e 

 così via. 



Consideriamo ora i nuclei simmetrici : 



Fi y) = 2/ 2/ Clj H ' ,{X ^ (pJ ^ ' F * (x ' y) = 2' 2/ CiJ f<)< (x) cp/ ^ 



i i /i+i ^+1 



ed indichiamo con 



(io) <K U) , (*), ... <|> Xi (*) ; 4»x 1+ , W • <K 1+2 (*)>••• ^ 1+ t 2 (*) ; • . . 



i sistemi di autofunzioni ortogonali rispettivamente dei nuclei F { (x,y) , F% (x,y) , e con 



fi > ./»>••■ ./Tj > / Cj + I ' ./■ C ( + 2 ' • • • ./ ^+2 > ' • ' 



i corrispondenti sistemi di autovalori. Sarà ( 7 ) i l K x t <T /, ed inoltre le funzioni 



W > W f • • ■ j ^-c W saranno combinazioni lineari delle funzioni <f 4 (.v) , q;>2 (x) , . . . tp^ (.v); 

 le funzioni 4> T +J {#),■•■ § x +x W saranno combinazioni lineari delle q> t + z (#),... qj^+/ 2 (#) ; 

 e così via, cioè le funzioni (10) considerate 'insieme costituiranno un sistema di funzioni 

 ortogonali, e sarà : 



Le funzioni if i (x) , . . . <{> x (#■) sono autofunzioni di p {xy) corrispondenti all'autovalore 

 Pi = Pi = ■ ■ ■P/ l '■> Je tyti+i U') > • • ■ W ^ sono autofunzioni di p (x,y) corrispondenti 

 all' autovalore p li+l — . . . Aj+Zj indichiamo genericamente con //, (/' = 1,2,... ) gli 

 autovalori di p(x,y) corrispondenti alle autofunzioni (10), tali cioè che si abbia 



di) M*) = p'ì SI P(*#)h(y)*r 



Poiché la successione p' lt p'2,... è contenuta nella successione p t , pi,...., dalla 

 convergenza delle serie -pj segue la convergenza della serie . Sappiamo al- 



lora che esiste una e una sola funzione simmetrica p'(x,y), ad autofunzioni reali, la quale 

 ammette come autofunzioni ortogonali tutte e sole le funzioni (10 e come corrispondenti 

 autovalori le costanti p' \ (i= 1, 2, ...), tale cioè che 



(12) <[>,(*) = />'.• fi «M®**? 



( 7 J LAURICELLA — Sopra alcune equazioni integrali (Rend. della R. Acc. del Lincei. Voi. XVII, serie 5 a , 

 i° semestre). 



