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Maria Precchia 



[Memoria XXV.J 



Ponendo quindi 



P"(x,y) — p{x,y) — p'(x,y) 

 si avrà, qualunque sia l'indice i a causa delle (11) e (12) 



(13) f/Mt,W^ = o 



ossia : 



H p' {*£) p" &y) = 

 e per la simmetria delle due funzioni p (x,y) e p" (x.y) 



/;; p"{x,i)p'{ty) d\ = o 



cioè ( 8 ) la p"(oo t y) è ortogonale alla p' (x,y) , ossia le autofunzioni normalizzate della p"(x,y) 

 sono ortogonali a tutte le funzioni della serie (10). 



Si osservi intanto che le funzioni (10) sono anche autofunzioni del nucleo q (x,y) 



corrispondenti agli autovalori q , — ~4- (/= 1, 2, . . .) . 



P ì 



Infatti si ha 



( 14) f a q (x,y) {y) dy = p\ /* j'[ q (x.y) p (y, % <f>, (%) dyd\ = 



Inoltre per la supposta sommabilità di q (x,y) e del suo quadrato, la serie 



è convergente e quindi esiste un' unica funzione simmetrica q (x,y), ad autofunzioni reali, 

 la quale ammette come sistema completo di autofunzioni ortogonali, le funzioni (10) e 

 come corrispondenti autovalori le costanti q\(/= 1, 2, ...), tali cioè che: 



(15) fcGr) = q\f a q'(*,y), 'Hy) dy . 



Indicando quindi con q" (x,y) , la differenza 



q(®,y) — q'(p,y) 



si avrà dalla (14) e dalla (15), per tutte le funzioni '■}>, (a?) 



\ a q" {x,y) <!>« (y) dy = 



( & ) GOL'RSAT , Recherches sur les équaiions inlègrales linédires, Annales de la Faculté des Sciences 

 de 1' Ùniversité di Toulouse, 2 e sér., X. 



