Sopra V algebra delle funzioni permutabili di 2' 1 specie 



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cioè la funzione q"(x,y) è ortogonale a q (x, y), ossia le autofunzioni normalizzate della 

 q" i x ,y) sono ortogonali a tutte le funzioni della serie (10). Dalla (13) risulta ancora che 

 le funzioni p"{x,y) e q'(x,//) sono ortogonali. 

 Poniamo adesso : 



/ [x,y) = p'q (x,y) . 



La funzione f (x, y) è simmetrica. 

 Infatti, indichiamo con 



iW, *,(•*).•■■ 



un sistema di funzioni ortogonali complementare al sistema (10), e consideriamo la serie 

 chiusa ( 9 ) di funzioni ortogonali 



(io') h(x).h(y); h(x)'%(y); «M*)-fc(y); to(y) (*w=i,2,...) 



Si ha, qualunque siano gii indici i ed j: 

 f b a f a f(x,y)h(x)h(y) dxdy 

 e quindi 



f a f b a | /' (.r, y) - ./' (.r,y) j (x) <fc (y) <te tfy = 0. 



E per qualunque altra funzione g(x,y) della serie (10') risulta 



f a f (x,y) g (x,y) dxdy — f a f (y,x) g (x,y) dxdy = Q 



da cui 



\ b a j b a \f ix,y) — f (y,x) j g (x,y) dxdy = , 

 cioè essendo la serie (10') chiusa 



f'(x,y) = f'(y,x), 

 da qui risulta che le funzioni p'(x,v) e q (x,v) sono permutabili. 



f j b a f(&,x)k(x)h (y) = 



Pi q< 



per / =j 



per / 4= j 



(°) LAURICELLA. Sopra V algebra delle funzioni permutabili di 2 :l specie § 3. I. C. (3). 

 ATTI ACC. SHRII: V. VOL. X. — Metri. XXV. 



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