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Maria Precettici 



| Memoria XXV. j 



Inoltre la funzione f'{x,y) ammette come autofunzioni ortogonali tutte e sole le 

 e come corrispondenti autovalori le costanti fi , (/= 1, 2, ... ). 

 Infatti si ha : 



f II f (x, y) 'h (y) dy = f j b a j b a p' (x, Q q (l y) (y) <%dy = 



= 4 f p' (x£) h {%) d% = h (x), (i = 1,2, . . .) 

 q, Ja 



e per qualsiasi funzione §'i(x) ortogonale a tutte le funzioni (10) : 



/* / [*,y) Vi (y) dy = 0; 



segue allora che, (teorema IV) : 



/>,//) = /(*,y) 



esclusi al più i punti di un insieme di misura nulla. 

 Risulta ancora 



f(x,y) = p 'q (x,y) = p' q (x, y) + p q"(x,y) + p" q (x,y) + £" (x,y) — 



= f{x,y) -\- p"q"(x,y) 



e quindi 



p" q" (,r, y) = 



cioè le funzioni p" {oo,y) e q" (oc,y) sono ortogonali, ossia le autofunzioni di p" (x,y) sono 

 ortogonali a tutte le autofunzioni di q"(®,y). 

 Quindi: 



Affinchè tra le funzioni simmetriche f (x,y), p (x,y) e q (x,y), ad autofunsioni 

 reali, sussista la reiasione : 



f {x, y) = p q (%, y) 



è necessario : 1° che esista una serie S di funzioni ortogonali la quale contenga 

 tutte le autofunsioni dei tre nuclei ; 2° che le autofunsioni di f (x,y) siano tutte 

 e sole le autofunsioni comuni a p(x.y) e a q(x,y); 3° che gli autovalori fj , q n , q m 



i i 



rispettivamente dei tre nuclei corrispondenti ad una loro autofunsione comune 

 soddisfino alla reiasione fi = p n , q m . 



i i 



3. Queste condizioni dimostrate necessarie affìchè tra le funzioni simmetriche /(a?, y), 

 p {x, y) e q (x, y) sussista la relazione (5) sono anche sufficienti. 



