Sopi ti V algebra delle funzioni permutabili di 2 a specie 



I I 



Supposto che esse siano verificate, indichiamo con 

 (16) <p Wl {x), c Pw2 (x) .... 



le funzioni della serie S che sono autofunzioni comuni a p(x,y) e q{x,y) e con "ni 

 (/— 1,2...), q m ( i— 1, 2, . . . ) i corrispondenti autovalori rispettivamente di /> ( .v, # ) 



e q ( .v, y). Sia ancora : 



9, (x) , cp, (.v) 



un sistema di funzioni ortogonali complementare al sistema (ló). Consideriamo la serie 

 chiusa di funzioni ortogonali 



(16') cp w . (x) . cp Hj (y) ; cp w . (x) . cp, (y) ; cp, ; (x) q> n . (y) ; ^ , : (.v) ^ (y) (/=1,2,...). 



Osserviamo che essendo le autofunzioni di p(x,y) e q {x,y) contenute in un'unica 

 serie S di funzioni ortogonali, un' autofunzione ']>(x) del nucleo p(®,y), contenuta in S, 

 che non sia contenuta nella serie (16) è ortogonale a tutte le autofunzioni di q (x, y), e 

 quindi è autofunzione di q (x, y), corrispondente all'autovalore x> . Similmente un'autofun- 

 zione di q{x,y), contenuta in S, che non sia contenuta nella serie (16) è autofunzione di 

 p(v,y) corrispondente all'autovalore oo. 



Inoltre, se la serie S non è chiusa, una funzione qualunque ortogonale a tutte le 

 funzioni di S, ossia appartenente ad un sistema complementare ad S sarà autofunzione 

 di p(x,y) e q (x, y) corrispondente all'autovalore oo. 



Consideriamo ora la funzione (x, y) che risulta dalla composizione di p(x,y) e 



q {x,y) : 



<I> (x, v) = p 'q (x, y) . 



La <ì> (x, y) è simmetrica. 



Infatti si ha, qualunque siano gli indici i ed j delle funzioni cp (x) cp w (y) della se- 

 rie (16'): 



f b a £ <f> (x,y) cp ni (x) cp n . (y) dxdy = f a )'[ *i> (y,x) cp w . (x) y nj (y) dxdy = 



f 1 . . 



I— — per i = j 

 ) p q 



( per /=j=j 



da cui : 



£ f b a | <I> (x,y) - <D {y, x) \ V UI (*) • (y) dxdy = ; 



