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Maria Prece hia 



| Memoria XXV. J 



ed inoltre, per qualunque altra funzione G (x,}l) della serie (16') risulta, perciò che si è 

 sopra osservato : 



f a $ (x,y) G (x,y) dxdy = $ (y t #) G dxdy = 



ossia 



e quindi deve essere: 



0> (.r, 3>) = $ (y, x) . 



Mostreremo ora che la funzione <!> {x,y) ammette come sistema completo di autofun- 

 zioni ortogonali il sistema (16) e come corrispondenti autovalori le costanti f =.p n q m . 

 Infatti per qualsivoglia funzione cp w .(;r) del sistema (16) si ha: 



£ <l> (x,y) cp n . (x) dx = f b a p (x, 5) q (c, y) <p B< far) Ar<^ = 



~r t q <p«, ® ^ = ^ <- v > ; 



* « j * ir, 1 mi 



ed inoltre per qualunque funzione ip t - (x) (/— 1,2, . . .) appartenente ad un sistema com- 

 plementare al sistema (16), si ha: 



jl <I> (x, y) ^ (.r) tf* = . 



Ma per ipotesi anche la f (x, y) ammette come sistema completo di autofunzioni or- 

 togonali, il sistema (16) a cui corrisponde la serie di autovalori — (* = 1,2,...), 



quindi sarà quasi da per tutto 



<!>(.*•, j>) =f( x ,y). 



Segue che tra le funzioni f (x, y), p(x,y) e q(x,y) sussiste la relazione: 



/ (x, y) = p'q (x. y) . 



Concludiamo quindi: 



Affinchè tra le funzioni simmetriche, f(x, y) p (x, y), e q (x, y,) ad auto funzioni 

 reali nel campo o, sussista la relazione: 



f(x,y) = p'q [x,y) 



