Sopra i algebra delle funzioni permutabili di 2"' specie 



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è necessario e sufficiente: 1" che esista una serie S di funzioni ortogonali la quale 

 contenga tutte le autofunzioni dei tre nuclei ; '2° die le auto, (unzioni di f(x, y) 

 siano tutte e sole le autofunzioni comuni a p (x, y) e q(x,y); 3° che gli autovalori 

 fi , p n . , q mj , rispettivamente dei tre nuclei corrispondenti ad una loro autofun- 



sione comune soddisfino alla relazione fj = p n . q m . 



4. Il precedente teorema vale anche nel caso in cui f{x,y) sia una costante c == , 

 potendosi sempre una costante considerare come nucleo simmetrico avente 1' unico auto- 

 valore — ~ — - e come corrispondente autofunzione normalizzata + I — — . 



c (b—a) r — v b— a 



Se la costante c = 0, le funzioni p (x,y) e q (x, y) devono essere ortogonali, e quindi: 

 affinchè esista la relazione = p q (x, y) è necessario e sufficiente che esista una 

 serie b di funzioni ortogonali contenente tutte le auto funzioni dei nuclei p (x, y) e 

 q (x, y), e che questi non abbiano nessuna autofunzione in comune. 



Osservazione. La condizione che un nucleo simmetrico p(x, y) ammetta come au- 

 tofunzione normalizzata, corrispondente ad autovalore finito o infinito, 1/ L_ equivale alla 



' b — a 



condizione che p (x, y) sia permutabile con l'unità. 



Se ne deduce che le autofunzioni ortogonali <p< (x) ii— 1, 2,. . . ) di un nucleo sim- 

 metrico p(x,y), permutabile con l'unità, devono soddisfare tutte, esclusa 1' autofunzione 



1/ ! , alla relazione 



1 b—a 



r <Pi ix) d.v = . 



5. In base al precedente teorema, la condizione di permutabilità fra due funzioni sim- 

 metriche, enunciata in principio, si trasforma neh' altra : 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè due funzioni simmetriche, p(x, y),' 

 q (x, y), ad autofunzioni reali siano permutabili, è che esista una serie S di fun- 

 zioni ortogonali contenente tutte le loro auto/ unzioni. 



Infatti se p[x,y) e q(x,y) sono permutabili, la risultante f {x, y) della loro compo- 

 sizione è una funzione simmetrica, quindi avendosi tra le funzioni simmetriche, p (x, .//), 

 q (x, y) ed f{xy), la relazione: 



f(x,y ) = p'q (x, y) 



deve esistere una serie S di funzioni ortogonali contenente le autofunzioni di p (x, y), 

 q (x, }/) ed f(x, v). 



La condizione è quindi necessaria. 



Viceversa, supposto che esista la serie S di funzioni ortogonali contenente le auto- 

 funzioni di p (x,yi e q (x, v), consideriamo la funzione risultante 



f{x,y) = p'q [x,y) 



e mostriamo che essa è simmetrica. 



